第一章數和數的運算
一、概念
(一)、整數
1、整數的意義
自然數和0都是整數。
2、自然數
我們在數物體的時候,用來表示物體個數的1,2,3……叫做自然數。
乙個物體也沒有,用0表示。0也是自然數。
3、計數單位
一(個)、
十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數單位。
每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。這樣的計數法叫做十進位制計數法。
4、數字
計數單位按照一定的順序排列起來,它們所佔的位置叫做數字。
5、位數
在乙個數中,數字的個數就叫做位數。
6、中位數
在一組數中,最中間的數叫中位數。
7、眾數
在一組數中,相同數最多的乙個數就叫做眾數。
8、平均數
用一組數的和除以這組數的個數所得到的商(數),就叫做這幾個數的平均數。
9、負數
小於零的數就叫做負數
10、數的整除
整數a除以整數b(b ≠ 0),除得的商是整數而沒有餘數,我們就說a能被b整除,或者說b能整除a 。
如果數a能被數b(b ≠ 0)整除,a就叫做b的倍數,b就叫做a的約數(或a的因數)。倍數和約數是相互依存的。
因為35能被7整除,所以35是7的倍數,7是35的約數。
乙個數的約數的個數是有限的,其中最小的約數是1,最大的約數是它本身。例如:10的約數有1、2、5、10,其中最小的約數是1,最大的約數是10。
乙個數的倍數的個數是無限的,其中最小的倍數是它本身。3的倍數有:3、6、9、12……其中最小的倍數是3 ,沒有最大的倍數。
個位上是0、2、4、6、8的數,都能被2整除,例如:202、480、304,都能被2整除。。
個位上是0或5的數,都能被5整除,例如:5、30、405都能被5整除。
乙個數的各位上的數的和能被3整除,這個數就能被3整除,例如:12、108、204都能被3整除。
乙個數各位數上的和能被9整除,這個數就能被9整除。
能被3整除的數不一定能被9整除,但是能被9整除的數一定能被3整除。
乙個數的末兩位數能被4(或25)整除,這個數就能被4(或25)整除。
例如:16、404、1256都能被4整除,50、325、500、1675都能被25整除。
乙個數的末三位數能被8(或125)整除,這個數就能被8(或125)整除。例如:1168、4600、5000、12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的數叫做偶數。
不能被2整除的數叫做奇數。
0也是偶數。自然數按能否被2 整除的特徵可分為奇數和偶數。
乙個數,如果只有1和它本身兩個約數,這樣的數叫做質數(或素數),100以內的質數有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
乙個數,如果除了1和它本身還有別的約數,這樣的數叫做合數,例如 4、6、8、9、12都是合數。
1不是質數也不是合數,自然數除了1外,不是質數就是合數。如果把自然數按其約數的個數的不同分類,可分為質數、合數和1。
每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數,叫做這個合數的質因數,例如15=3×5,3和5 叫做15的質因數。
把乙個合數用質因數相乘的形式表示出來,叫做分解質因數。
例如把28分解質因數
幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數。其中最大的乙個,叫做這幾個數的最大公約數,例如12的約數有1、2、3、4、6、12;18的約數有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和1 8的公約數,6是它們的最大公約數。
公約數只有1的兩個數,叫做互質數,成互質關係的兩個數,有下列幾種情況:
1和任何自然數互質。
相鄰的兩個自然數互質。
兩個不同的質數互質。
當合數不是質數的倍數時,這個合數和這個質數互質。
兩個合數的公約數只有1時,這兩個合數互質,如果幾個數中任意兩個都互質,就說這幾個數兩兩互質。
如果較小數是較大數的約數,那麼較小數就是這兩個數的最大公約數。
如果兩個數是互質數,它們的最大公約數就是1。
幾個數公有的倍數,叫做這幾個數的公倍數,其中最小的乙個,叫做這幾個數的最小公倍數,如2的倍數有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍數有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍數,6是它們的最小公倍數。。
如果較大數是較小數的倍數,那麼較大數就是這兩個數的最小公倍數。
如果兩個數是互質數,那麼這兩個數的積就是它們的最小公倍數。
幾個數的公約數的個數是有限的,而幾個數的公倍數的個數是無限的。
(二)、小數
1、小數的意義
把整數1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數表示。
一位小數表示十分之幾,兩位小數表示百分之幾,三位小數表示千分之幾……
乙個小數由整數部分、小數部分和小數點部分組成。數中的圓點叫做小數點,小數點左邊的數叫做整數部分,小數點左邊的數叫做整數部分,小數點右邊的數叫做小數部分。
在小數里,每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10。小數部分的最高分數單位「十分之一」和整數部分的最低單位「一」之間的進率也是10。
2、小數的分類
純小數:整數部分是零的小數,叫做純小數。例如: 0.25 、 0.368 都是純小數。
帶小數:整數部分不是零的小數,叫做帶小數。 例如: 3.25 、 5.26 都是帶小數。
有限小數:小數部分的數字是有限的小數,叫做有限小數。 例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數。
無限小數:小數部分的數字是無限的小數,叫做無限小數。 例如: 4.33 …… 3.1415926 ……
無限不迴圈小數:乙個數的小數部分,數字排列無規律且位數無限,這樣的小數叫做無限不迴圈小數。 例如:∏
迴圈小數:乙個數的小數部分,有乙個數字或者幾個數字依次不斷重複出現,這個數叫做迴圈小數。 例如: 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
乙個迴圈小數的小數部分,依次不斷重複出現的數字叫做這個迴圈小數的迴圈節。例如:3.99 ……的迴圈節是「 9 」,0.5454 ……的迴圈節是「 54 」 。
純迴圈小數:迴圈節從小數部分第一位開始的,叫做純迴圈小數。 例如: 3.111 …… 0.5656 ……
混迴圈小數:迴圈節不是從小數部分第一位開始的,叫做混迴圈小數。 3.1222 …… 0.03333 ……
寫迴圈小數的時候,為了簡便,小數的迴圈部分只需寫出乙個迴圈節,並在這個迴圈節的首、末位數字上各點乙個圓點。如果迴圈節只有乙個數字,就只在它的上面點乙個點。例如:
3.777 …… 簡寫作 0.5302302 …… 簡寫作 。
(三)、分數
1、分數的意義
把單位「1」平均分成若干份,表示這樣的乙份或者幾份的數叫做分數。
在分數裡,中間的橫線叫做分數線;分數線下面的數,叫做分母,表示把單位「1」平均分成多少份;分數線下面的數叫做分子,表示有這樣的多少份。
把單位「1」平均分成若干份,表示其中的乙份的數,叫做分數單位。
2、分數的分類
真分數:分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小於1。
假分數:分子比分母大或者分子和分母相等的分數,叫做假分數。假分數大於或等於1。
帶分數:假分數可以寫成整數與真分數合成的數,通常叫做帶分數。
3、約分和通分
把乙個分數化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數 ,叫做約分。
分子分母是互質數的分數,叫做最簡分數。
把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數,叫做通分。
(四)、百分數
1、表示乙個數是另乙個數的百分之幾的數叫做百分數,也叫做百分率或百分比。
2、百分數通常用"%"來表示。百分號是表示百分數的符號。
二、方法
(一)、數的讀法和寫法
1.整數的讀法:從高位到低位,一級一級地讀。
讀億級、萬級時,先按照個級的讀法去讀,再在後面加乙個「億」或「萬」字。每一級末尾的0都不讀出來,其它數字連續有幾個0都唯讀乙個零。
2.整數的寫法:從高位到低位,一級一級地寫,哪乙個數字上乙個單位也沒有,就在那個數字上寫0。
3.小數的讀法:讀小數的時候,整數部分按照整數的讀法讀,小數點讀作「點」,小數部分從左向右順次讀出每一位數字上的數字。
4.小數的寫法:寫小數的時候,整數部分按照整數的寫法來寫,小數點寫在個位右下角,小數部分順次寫出每乙個數字上的數字。
5.分數的讀法:讀分數時,先讀分母再讀「分之」然後讀分子,分子和分母按照整數的讀法來讀。
6.分數的寫法:先寫分數線,再寫分母,最後寫分子,按照整數的寫法來寫。
7.百分數的讀法:讀百分數時,先讀百分之,再讀百分號前面的數,讀數時按照整數的讀法來讀。
8.百分數的寫法:百分數通常不寫成分數形式,而在原來的分子後面加上百分號「%」來表示。
(二)、數的改寫
乙個較大的多位數,為了讀寫方便,常常把它改寫成用「萬」或「億」作單位的數。有時還可以根據需要,省略這個數某一位後面的數,寫成近似數。
1.準確數:在實際生活中,為了計數的簡便,可以把乙個較大的數改寫成以萬或億為單位的數。
改寫後的數是原數的準確數。例如把 1254300000 改寫成以萬做單位的數是125430萬;改寫成以億做單位的數12.543 億。
2.近似數:根據實際需要,我們還可以把乙個較大的數,省略某一位後面的尾數,用乙個近似數來表示。例如:1302490015 省略億後面的尾數是13億
3.四捨五入法:要省略的尾數的最高位上的數是4 或者比4小,就把尾數去掉;如果尾數的最高位上的數是5或者比5大,就把尾數捨去,並向它的前一位進1。
例如:省略345900 萬後面的尾數約是35萬。省略***億後面的尾數約是47億。
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