第一部分集合
1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵:元素是函式關係中自變數的取值?還是因變數的取值?還是曲線上的點?… ;
2.數形結合是解集合問題的常用方法:解題時要盡可能地借助數軸、直角座標系或韋恩圖等工具,將抽象的代數問題具體化、形象化、直觀化,然後利用數形結合的思想方法解決;
3.(1)含n個元素的集合的子集數為2n,真子集數為2n-1;非空真子集的數為2n-2;
(2)注意:討論的時候不要遺忘了的情況。
4.是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分函式與導數
1.對映:注意 ①第乙個集合中的元素必須有象;②一對一,或多對一。
2.函式值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函式單調性 ;
⑤換元法 ;⑥利用均值不等式; ⑦利用數形結合或幾何意義(斜率、距離、絕對值的意義等);⑧利用函式有界性(、、等);⑨導數法
3.復合函式的有關問題
(1)復合函式定義域求法:
① 若f(x)的定義域為[a,b],則復合函式f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出
② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域,相當於x∈[a,b]時,求g(x)的值域。
(2)復合函式單調性的判定:
①首先將原函式分解為基本函式:內函式與外函式;
②分別研究內、外函式在各自定義域內的單調性;
③根據「同性則增,異性則減」來判斷原函式在其定義域內的單調性。
4.分段函式:值域(最值)、單調性、圖象等問題,先分段解決,再下結論。
5.函式的奇偶性
⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件;
⑵是奇函式f(-x)=-f(x);是偶函式f(-x)= f(x)
⑶奇函式在原點有定義,則;
⑷在關於原點對稱的單調區間內:奇函式有相同的單調性,偶函式有相反的單調性;
⑸若所給函式的解析式較為複雜,應先等價變形,再判斷其奇偶性;
6.函式的單調性
⑴單調性的定義:
①在區間上是增函式當時有;
②在區間上是減函式當時有;
⑵單調性的判定
1 定義法:一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式,以利於判斷符號;
②導數法(見導數部分);③復合函式法;④影象法。
注:證明單調性主要用定義法和導數法。
7.函式的週期性
(1)週期性的定義:對定義域內的任意,若有(其中為非零常數),則稱函式為週期函式,為它的乙個週期。
所有正週期中最小的稱為函式的最小正週期。如沒有特別說明,遇到的週期都指最小正週期。
(2)三角函式的週期
①;②;③;
④;⑤;
(3)與週期有關的結論
或的週期為;
8.基本初等函式的影象與性質
⑴冪函式: (;⑵指數函式:;
⑶對數函式:;⑷正弦函式:;
⑸余弦函式: ;(6)正切函式:;⑺一元二次函式:;
⑻其它常用函式:
1 正比例函式:;②反比例函式:;③函式;
9.二次函式:
⑴解析式:
①一般式:;②頂點式:,為頂點;
③零點式: 。
⑵二次函式問題解決需考慮的因素:
①開口方向;②對稱軸;③端點值;④與座標軸交點;⑤判別式;⑥兩根符號。
二次函式的圖象的對稱軸方程是,頂點座標是。 10.函式圖象:
⑴圖象作法 :①描點法 (特別注意三角函式的五點作圖)②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換:
1 平移變換:ⅰ),———左「+」右「-」;
上「+」下「-」;
2 對稱變換:ⅰ;ⅱ;
ⅲ; ⅳ;
3 翻轉變換:
ⅰ)———右不動,右向左翻(在左側圖象去掉);
ⅱ)———上不動,下向上翻(||在下面無圖象);
11.函式圖象(曲線)對稱性的證明
(1)證明函式影象的對稱性,即證明影象上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在影象上;
(2)證明函式與圖象的對稱性,即證明圖象上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點在的圖象上,反之亦然;
注:①曲線c1:f(x,y)=0關於點(0,0)的對稱曲線c2方程為:f(-x,-y)=0;
②曲線c1:f(x,y)=0關於直線x=0的對稱曲線c2方程為:f(-x, y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線y=0的對稱曲線c2方程為:f(x, -y)=0;
曲線c1:f(x,y)=0關於直線y=x的對稱曲線c2方程為:f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b-x) (x∈r)→y=f(x)影象關於直線x=對稱;
特別地:f(a+x)=f(a-x) (x∈r)→y=f(x)影象關於直線x=a對稱;
12.函式零點的求法:
⑴直接法(求的根);⑵圖象法;⑶二分法.
(4)零點定理:若y=f(x)在[a,b]上滿足f(a)f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內至少有乙個零點。
13.導數
⑴導數定義:f(x)在點x0處的導數記作;
⑵常見函式的導數公式
⑶導數的四則運算法則:
⑷(理科)復合函式的導數:
⑸導數的應用
①利用導數求切線:注意:ⅰ)所給點是切點嗎?ⅱ)所求的是「在」還是「過」該點的切線?
②利用導數判斷函式單調性:
①是增函式;②為減函式;③為常數;
③利用導數求極值:ⅰ)求導數;ⅱ)求方程的根;ⅲ)列表得極值。
④利用導數最大值與最小值:ⅰ)求的極值;ⅱ——求區間端點值(如果有);ⅲ)得最值。
第三部分三角函式、三角恒等變換與解三角形
1.⑴角度制與弧度制的互化:弧度,弧度,弧度
⑵弧長公式:;扇形面積公式:。
2.三角函式定義:角α中邊上任意一p點為,設則:
3.三角函式符號規律:一全正,二正弦,三兩切,四余弦;
4.誘導公式記憶規律:「函式名不(改)變,符號看象限」;
5.⑴對稱軸:;對稱中心:;
⑵對稱軸:;對稱中心:;
6.同角三角函式的基本關係:;
7.三角函式的單調區間:
的遞增區間是,遞減區間是;的遞增區間是,遞減區間是,的遞增區間是,的遞減區間是。
8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:①
②③。9.二倍角公式:①;
②;③。
10.正、餘弦定理:
⑴正弦定理: (是外接圓直徑 )
注:①;②;③。
⑵餘弦定理:等三個;等三個。
11。幾個公式:
⑴三角形面積公式:;
⑵內切圓半徑r=;外接圓直徑2r=
第四部分立體幾何
1.三檢視與直觀圖:
2.表(側)面積與體積公式:
⑴柱體:①表面積:s=s側+2s底;②側面積:s側=;③體積:v=s底h
⑵錐體:①表面積:s=s側+s底;②側面積:s側=;③體積:v=s底h:
⑶台體:①表面積:s=s側+s上底s下底;②側面積:s側=;③體積:v=(s+)h;
⑷球體:①表面積:s=;②體積:v= 。
3.位置關係的證明(主要方法):
⑴直線與直線平行:①公理4;②線面平行的性質定理;③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行:①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。
⑶平面與平面平行:①面面平行的判定定理及推論;②垂直於同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直:①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直:①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科還可用向量法。
4.求角:(步驟-------ⅰ。找或作角;ⅱ。求角)
⑴異面直線所成角的求法:
①平移法:平移直線,構造三角形;②用向量法:
⑵直線與平面所成的角:
①直接法(利用線面角定義);②用向量法:
5.求距離:(步驟-------ⅰ。找或作垂線段;ⅱ。求距離)
點到平面的距離:①等體積法;②向量法:。
6.結論:
⑴長方體從乙個頂點出發的三條稜長分別為a,b,c,則對角線長為,全面積為2ab+2bc+2ca,體積v=abc。
⑵正方體的稜長為a,則對角線長為,全面積為6a2,體積v=a3。
⑶長方體或正方體的外接球直徑2r等於長方體或正方體的對角線長。
⑷正四面體的性質:設稜長為,則正四面體的:
1 高:;②對稜間距離:;③內切球半徑:;④外接球半徑:。
第五部分直線與圓
1.直線方程
⑴點斜式: ;⑵斜截式: ;⑶截距式: ;
⑷兩點式: ;⑸一般式:,(a,b不全為0)。
2.求解線性規劃問題的步驟是:
(1)列約束條件;(2)作可行域,寫目標函式;(3)確定目標函式的最優解。
3.兩條直線的位置關係:
直線方程平行的充要條件垂直的充要條件備註
有斜率已知l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0,則l1 ⊥l2的充要條件是a1a2+b1b2=0。
4.幾個公式
⑴設a(x1,y1)、b(x2,y2)、c(x3,y3),⊿abc的重心g:();
⑵點p(x0,y0)到直線ax+by+c=0的距離:;
⑶兩條平行線ax+by+c1=0與 ax+by+c2=0的距離是;
5.圓的方程:
⑴標準方程:①;②。
⑵一般方程: (
注:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0表示圓a=c≠0且b=0且d2+e2-4af>0;
6.圓的方程的求法:⑴待定係數法;⑵幾何法。
7.點、直線與圓的位置關係:(主要掌握幾何法)
⑴點與圓的位置關係:(表示點到圓心的距離)
①點在圓上;②點在圓內;③點在圓外。
⑵直線與圓的位置關係:(表示圓心到直線的距離)
①相切;②相交;③相離。
⑶圓與圓的位置關係:(表示圓心距,表示兩圓半徑,且)
①相離;②外切;③相交;
④內切;⑤內含。
8、直線與圓相交所得弦長
第六部分圓錐曲線
1.定義:⑴橢圓:;
⑵雙曲線:;⑶拋物線:|mf|=d
2.結論
⑴焦半徑:①橢圓:(e為離心率); (左「+」右「-」);
②拋物線:
⑵弦長公式:
注:⑴拋物線:=x1+x2+p;⑵通徑(最短弦):①橢圓、雙曲線:;②拋物線:2p。
⑶過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為: (同時大於0時表示橢圓,時表示雙曲線);當點與橢圓短軸頂點重合時最大;
⑷雙曲線中的結論:
①雙曲線(a>0,b>0)的漸近線:;
②共漸進線的雙曲線標準方程為為引數,≠0);
高中數學基礎知識彙總
第一部分集合 1 理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵 元素是函式關係中自變數的取值?還是因變數的取值?還是曲線上的點?2 數形結合是解集合問題的常用方法 解題時要盡可能地借助數軸 直角座標系或韋恩圖等工具,將抽象的代數問題具體化 形象化 直觀化,然後利用數形結合的思想方法解決 3 1 含n個元...
高中數學會考基礎知識彙總
第一章集合與簡易邏輯 一 集合 1 集合的有關概念和運算 1 集合的特性 確定性 互異性和無序性 2 元素a和集合a之間的關係 a a,或aa 2 子集定義 a中的任何元素都屬於b,則a叫b的子集 記作 ab,注意 ab時,a有兩種情況 a 與a 3 真子集定義 a是b的子集 且b中至少有乙個元素不...
高中數學基礎知識
看書,認真填寫下列基礎知識點 一 集合的定義 把一些能夠的的看成乙個就是說這個是由這些物件的全體構成的 構成集合的每個叫做這個集合的 二 集合通常用表示,元素通常用表示 元素與集合的關係有和分別用符號表示。三 常見集合的符號表示 四 集合的表示法 1 列舉法 把集合的元素出來,寫在內表示集合。2 描...