高中數學基礎知識歸類——獻給2023年贛馬高階中學高三考生
一.集合與簡易邏輯、推理
集合表示－集合中的關係－集合運算，命題形式－四種命題關係－充分、必要條件
1.注意區分集合中元素的形式.如：—函式的定義域；—函式的值域。
2.集合的性質：
①任何乙個集合是它本身的子集,記為.
②空集是任何集合的子集,記為.
③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為,在討論的時候不要遺忘了的情況，如：,如果,求的取值.(答：)
④含個元素的集合的子集個數為；真子集(非空子集)個數為；非空真子集個數為.
3.補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。
如：已知函式在區間上至少存在乙個實數,使,求實數的取值範圍.(答：)
若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋（a-2）x-2>0成立，則實數x取值範圍是 ．
解：不等式即，設.研究「任意a∈[1，3]，恒有」.則，解得。則實數x的取值範圍是.
4.四種命題：
⑴原命題：若p則q； ⑵逆命題：若q則p；⑶否命題：若p則q；⑷逆否命題：若q則p
注：1。原命題與等價；逆命題與否命題等價。判斷命題真假時常常借助判斷其的真假。
2．命題的否定是「p命題的非p命題，也就是『 不變，僅否定 』所得命題」，但否命題是「既否定原命題的又否定原命題的命題否定形式是；否命題是.命題「或」的否定是「且」；「且」的否定是「或」.
5.常見結論的否定形式
6. 全稱命題與特稱命題
短語「所有」在陳述中表示所述事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，並用符號表示。含有全體量詞的命題，叫做全稱命題。
短語「有乙個」或「有些」或「至少有乙個」在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，並用符號表示，含有存在量詞的命題，叫做存在性命題。
7．對集合， 「極端」情況
「極端」情況
8．充要條件
（1）定義法----正、反方向推理。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。；
（2）集合解釋，滿足條件滿足條件
9．命題真假
「或命題」的真假特點是「一真即真，要假全假」；
「且命題」的真假特點是「一假即假，要真全真」；
「非命題」的真假特點是「一真一假」
10.模擬推理的一般步驟：
（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；
（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出乙個明確的命題（猜想）；
（3）一般地，事物之間各個性質之間並不是孤立存在的，而是相互制約的。如果兩個事物在某些性質上相同或類似，那麼它們在另一些性質上也可能相同或類似，模擬的結論可能是真的；
（4）在一般情況下，如果模擬的相似性越多，相似的性質與推測的性質之間越相關，那麼模擬得出的命題就越可靠。
注意: 歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理;模擬推理是特殊到特殊的推理。
11. 「三段論」是演繹推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般結論；⑵小前提---------所研究的特殊情況；
⑶結論---------根據一般原理，對特殊情況得出的判斷。
12．證明
⑴直接證明：綜合法又叫順推法或由因導果法。分析法又叫逆推證法或執果索因法。
用分析法證明不等式的邏輯關係是：
分析法的思維特點是：執果索因；
分析法的書寫格式： 要證明命題b為真，只需要證明命題為真，
從而有……，這只需要證明命題為真，從而又有……
這只需要證明命題a為真，而已知a為真，故命題b必為真。
綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法，
用綜合法證明不等式的邏輯關係是：
綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。
⑵反證法的步驟：
1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；
2)從這個假設出發，通過推理論證，得出矛盾；
3)由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。
注意：可能出現矛盾四種情況：①與題設矛盾；②與反設矛盾；③與公理、定理矛盾④在證明過程中，推出自相矛盾的結論。
高中數學基礎知識歸類
二.函式
函式概念－函式圖象－函式性態（定義域、值域、單調性、奇偶性、反函式、對稱性、週期性）－特殊函式圖象與性質－應用（內部應用、應用題）
1. 對映
①對映:是：⑴ 「一對一或多對一」的對應；
⑵中元素必有象且中不同元素在中可以有相同的象；中元素不一定有原象(即象集).
②一一對映:： ⑴「一對一」的對應；⑵中不同元素的象必不同,中元素都有原象.
2.函式:是特殊的對映.特殊在定義域和值域都是非空數集！據此可知函式影象與軸的垂線至多有乙個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個.
3.函式的三要素：定義域,值域,對應法則.研究函式的問題一定要注意定義域優先的原則.
4.求定義域:
使函式解析式有意義(如:分母;偶次根式被開方數非負;
對數真數,底數且；如的解集：；單調增區間；
零指數冪的底數；
實際問題有意義；若定義域為,復合函式定義域由解出；若定義域為,則定義域相當於時的值域.
5.求值域常用方法:
①配方法(二次函式類)；②導數法(一般適用於高次多項式函式)；③換元法(特別注意新元的範圍).④三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函式,運用三角函式有界性來求值域；⑤不等式法；⑥單調性法；⑦數形結合：
根據函式的幾何意義,利用數形結合的方法來求值域；⑧判別式法（慎用）
6.求函式解析式的常用方法：
⑴待定係數法(已知所求函式的型別)； ⑵代換(配湊)法；
⑶方程的思想----對已知等式進行賦值，從而得到關於及另外乙個函式的方程組；
（4）座標轉移法。
7.函式的奇偶性和單調性
⑴函式有奇偶性的必要條件是其定義域是關於原點對稱的,確定奇偶性方法有定義法、影象法等；⑵若是偶函式,那麼；定義域含零的奇函式必過原點()；
⑶判斷函式奇偶性可用定義的等價形式：或；
注意：若判斷較為複雜解析式函式的奇偶性，應先化簡再判斷；既奇又偶的函式有無數個
(如定義域關於原點對稱即可).
⑸奇函式在對稱的單調區間內有相同的單調性；偶函式在對稱的單調區間內有相反的單調性；
⑹確定函式單調性的方法有定義法、導數法，以及影象法和特值法(用於小題)等；
⑺復合函式單調性由「同增異減」判定. （提醒：求單調區間時注意定義域）
如：函式的單調遞增區間是.(答：)
函式的單調增區間是.(答：和)你能畫出影象嗎？
8.函式圖象的幾種常見變換
⑴平移變換：左右平移----「左加右減」（注意是針對而言）；上下平移----「上加下減」(注意是針對而言).
⑵翻摺變換：；.
⑶對稱變換：①證明函式影象的對稱性,即證影象上任意點關於對稱中心(軸)的對稱點仍在影象上.
②函式與的影象關於原點成中心對稱
③函式與的影象關於直線(軸)對稱；函式與函式的影象關於直線(軸)對稱；
④函式對時，或恆成立,則影象關於直線對稱；
⑤若對時,恆成立,則影象關於直線對稱；
⑥函式,的影象關於直線對稱(由確定)；
9.函式的週期性：⑴若對時恆成立,則的週期為；
⑵若是偶函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
⑶若奇函式,其影象又關於直線對稱,則的週期為；
⑷若關於點,對稱,則的週期為；
⑸對時,或,則的週期為；
10.對數：⑴；
⑵對數恒等式；
⑶；；⑷對數換底公式；
推論：.
(以上且均不等於)
11.方程有解(為的值域)；恆成立,
恆成立.
12.恆成立問題的處理方法：⑴分離引數法(最值法)； ⑵轉化為一元二次方程根的分布問題；
1).恆成立問題
若不等式在區間上恆成立,則等價於
若不等式在區間上恆成立,等價於。
2).能成立問題
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上；
若在區間上存在實數使不等式成立,則等價於在區間上的
3).恰成立問題：恆成立最值法,如：,則恆成立.,則恆成立.
若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為；若不等式在區間上恰成立, 則等價於不等式的解集為.13.處理二次函式的問題勿忘數形結合；二次函式在閉區間上必有最值，求最值問題用「兩看法」：
一看開口方向；二看對稱軸與所給區間的相對位置關係；
14.二次函式解析式的三種形式： ①一般式：；②頂點式：
； ③零點式：.
15.一元二次方程實根分布:先畫圖再研究、軸與區間關係、區間端點函式值符號;
16.復合函式：⑴復合函式定義域求法：若的定義域為,其復合函式的定義域可由不等式解出；若的定義域為,求的定義域，相當於時,求的值域；⑵復合函式的單調性由「同增異減」判定.
17. 函式的影象是雙曲線：①兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的係數確定)；②對稱中心是點；③反函式為；
高中數學基礎知識歸類
三.不等式、線性規劃、演算法
1.掌握課本上的幾個不等式性質，注意使用條件，另外需要特別注意：
①若, ,則.即不等式兩邊同號時,不等式兩邊取倒數,不等號方向要改變.
②如果對不等式兩邊同時乘以乙個代數式,要注意它的正負號,如果正負號未定,要注意分類討論.
取倒數: ； ；如，等價於或
2.掌握幾類不等式(一元一次、二次、絕對值不等式、簡單的指數、對數不等式)的解法,尤其注意用分類討論的思想解含引數的不等式；勿忘數軸標根法,零點分區間法.
3.掌握重要不等式,(1)均值不等式：若,則(當且僅當時取等號)使用條件：「一正二定三相等 」， 常用的方法為：拆、湊、平方等；
(2)， (當且僅當時,取等號)；
(3)公式注意變形如：,；若,則(真分數的性質)；
4.證明不等式常用方法：
⑴比較法：作差比較：.注意：
若兩個正數作差比較有困難,可以通過它們的平方差來比較大小；⑵綜合法：由因導果；⑶分析法：執果索因.
基本步驟：要證…需證…,只需證…； ⑷反證法：正難則反；
高中數學基礎知識
看書，認真填寫下列基礎知識點 一 集合的定義 把一些能夠的的看成乙個就是說這個是由這些物件的全體構成的 構成集合的每個叫做這個集合的 二 集合通常用表示，元素通常用表示 元素與集合的關係有和分別用符號表示。三 常見集合的符號表示 四 集合的表示法 1 列舉法 把集合的元素出來，寫在內表示集合。2 描...
高中數學基礎知識講解
高中數學重點知識與結論分類解析 一 集合與簡易邏輯 1 集合的元素具有確定性 無序性和互異性 2 對集合 時，必須注意到 極端 情況 或 求集合的子集時是否注意到是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 3 對於含有個元素的有限集合 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的個數依次為 4 交的補等於補...
高中數學基礎知識總結
第一部分集合 1 含n個元素的集合的子集數為2 n,真子集數為2 n 1 非空真子集的數為2 n 2 2 注意 討論的時候不要遺忘了的情況。3 第二部分函式與導數 1 對映 注意 第乙個集合中的元素必須有象 一對一，或多對一。2 函式值域的求法 分析法 配方法 判別式法 利用函式單調性 換元法 利用...