競賽熱點
含有未知數的三角函式的不等式叫做三角不等式。
在高中數學競賽內容中，涉及三角不等式的問題有三類：一是三角不等式的證明，二是解三角不等式，三是應用三角不等式求最值。
處理三角不等式的問題一方面要有紮實的三角變形能力，另一方面還需要有三角函式的圖象和性質的認識。同時，對不等式的有關性質和證明方法要能靈活運用。
解題示範
例1：已知，，求證：
思路分析：本題從三角變形入手不易，不可考慮利用放縮，轉化為代數不等式。
證明：因為所以又
所以即點評：此題應用三角函式中重要的不等式：若，則此結論的應用，將三角不等式轉化為代數不等式，疊乘即證得。
例2：當時，求證：
思路分析；利用和差化積公式和變為乘積的形式，再放縮證明。
證明：因為
所以引申：此證明中利用進行放縮，從證明過程中可以看出，等號當且僅當時成立。
因為在內上凸，所以我們很容易推廣此不等式為
特殊地，在中，有成立。
例3：已知，證明：
思路分析：原不等式等價為，再考慮利用幾何意義構造證明。
證明：因為原不等式等價為，即
如圖，，
，··，
①、②、③分別表示圖中陰影矩形的面積，而表示單位圓在第一象限的面積。
所以成立。
即點評：此題巧妙地利用三角線幾何意義，構造矩形的面積證明，有較強的技巧性。
例4：已知，求證：
思路分析：所證不等式中涉及三個變數，結合結構特徵，考慮一元二次方程構造證明。
證明：當時，原不等式顯然成立。
當時，構造一元二次方程
因為，所以所作方程必有一根，從而
即點評：三角不等式的證明常通過代數方法去解決。
例5：在中，求的整數部分。
思路分析：利用三角形內角和的特點考慮。
證明：在中，，
所以···
由冪平均不等式，則
又當時，
所以，，
故即s的整數部分為4。
點評：證明過程中利用了冪平均不等式和時， 1，既考慮了三角特點，又結合了代數不等式知識。
例6：求實數的取值範圍，使不等式，在恆成立。
思路分析：對題中與關係換元解決。
解：設，由可得
原不等式可化為，
即因為，所以
即記，易知在上單調遞減。所以故
點評：換元之後，將三角不等化為代數不等式解決，既轉化了形式，又簡化了不等式。
例7：已知，若對於一切實數，都有，求證：
思路分析：分析題中結構，考慮引入輔助角方法證明。
證明：若，則結論顯然成立。
若，令，
於是， ①
②由①+②得，
即所以對一切都成立。
取，即有
又 ③
由①+③得
即取時，，即
點評：此題在恆成立的不等式中，通過賦值得②、③是關鍵的技巧。
例8：已知··…·，若對任意一組滿足上述條件的，都有，求的最小值。
思路分析：先退到特殊形式考慮，再進一步處理一般形式。
解：當時，；
當時，由得
可證，且時等號成立，帶入所以；
當時，得證
事實上，不妨，則，
只需證因為··，所以即
又，，所以（1）若，則
所以（2）若，即即
所以所以
另外，當時，
故點評：當時，將問題轉化為①，從而使問題得到解決。
能力測試
能力測試
1．設，下列關係中正確的是（ ）
a． b．
c． d．
2．成立的乙個充分非必要條件是（ ）
ab．cd．3．已知為銳角，滿足，則與的關係滿足（ ）
a． b．
c． d．不能確定
4．設，且，則的取值範圍是（ ）
ab．c． d．
5．已知，則函式的最大值與最小值的和等於（ ）
a．1bcd．
6．設函式，若成立的充分條件為，則實數的取值範圍為（ ）
a． bcd．
7．設是給定的整數，，則的最大值是
8．已知·，則的最大值為
9．如果，那麼的最大值為
10．若對任意的，不等式都成立，則實數對
11．已知銳角abc中，，則與的大小關係為
12．已知矩形的兩邊長分別為和，且對於任何，使·，則此矩形的面積的取值範圍為
13．設，使不等式成立，求的取值範圍。
14．已知，問：能否以的值為邊長構成三角形？
15．求證：
衝擊金牌
16．已知，求證：
17．設，求證：只要，則
18．已知，求證：，並確定等號成立的所有的值。
第2講不等式
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絕對值三角不等式
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