永川區第六中學校屈景蘭
試題：如圖，△abc中，∠a的外角平分線ad交bc的延長線於d。
求證：bd：dc=ab：ac
由於思維的指向性不同，通常把思維分為集中思維（或求同思維）和發散思維（或求異思維）。而發散思維也稱求異思維，它是指人們解決問題的思路朝各種可能的方向擴散，使思考者不侷限於乙個途徑，一種方法，而是從各種可能設想出發，求得多種合乎條件的答案的思維活動。通過此試題的多種解題方法談一談它引發的思考———在課堂解題教學中應注意學生思維的培養。
下面就是此試題的多種解法：
證法一：過c點作ab邊的平行線ce交ad於點e
（如圖一）
∴∠fad=∠aec
又∠fad=∠cad
∠cae=∠aecac=ce
又ab∥cece∶ab=dc∶bd
bd∶dc=ab∶ac
證法二：過點c作ad邊的平行線ce交ab於點e（如圖二）
∴∠cad=∠ace，∠fad=∠aec
又∵∠fad=∠cad
∠ace=∠aec
ae=ac
又ce∥ad
ae∶ab=dc∶bd
bd：dc=ab：ac
證法三：過點b作ac的平行線交da延長線於點e（如圖三）
∴∠bea=∠cad
又∠fad=∠eab，∠fad=∠cad
∠eab=∠bea
be=ab
又eb∥ac
be：ac=bd：dc
bd：dc=ab：ac
證法四：
過點b作ad的平行線交ac延長線於點e（如圖四）
∴∠cad=∠e，∠fad=∠abe
又∠fad=∠cad
∴∠e=∠abeae=ab
又be∥adac：ce=dc：bc
ac：（ac+ce）=dc：（bc+dc）
ac：ae=dc：bd
ab：ac=bd：dc
證法五：過點d作ab的平行線，交ac延長線於點e（如圖五）
∠fad=∠ade
又∠fad=∠cad
∴∠cad=∠ade
∴ae=de
又ab∥de
∴ab：de=bc：dc=ac：ce
又ac：ce=bc：dc
∴（ac+ce）：ce=bd：dc=ae：ce
又ab：de=ac：ce
∴ab：ac=ae：ce
∴bd：dc=ab：ac
證法六：過點d作ac的平行線交延長線ba於f（如圖六）
∴∠cad=∠adf
又∠fad=∠cad
∴∠fad=∠adf
∴af=df
又ac∥df
ab：bf=ac：df……①
ab：af=bc：dc……②
由②有：bf：af=bd：dc……③
由①×③有：
證法七：分別過點b、c作ad的垂線bm、cn，垂足為m、n（如圖七）則有
∠fad=∠bam，∠bma=∠can=90°
又∠fad=∠cad
∴∠cad=∠bam
∴△cna∽△bma
……①又bm⊥ad，cn⊥ad
∴bm∥cn
cn：bm=dc：bd……②
由①、②得：
bd：dc=ab：ac
試猜想一下下面這種情形將會有什麼結果。
如圖：在△abc中，ad是∠a的角平分線，則ab、ac、bd、dc這四條線段有何關係？（學生自行證明）
實際上，上面所證試題是以前舊教材中的外角平分線的性質定理，同時也是現行教材中刪減的內容，而此題卻在有關的測試**現的頻率很高，所以，在此將其多種解法在課堂上呈現給學生，有助於學生解題思維的培養，同時，也拓寬了學生的思路，對今後的學習指明了一條前進的方向。
在課堂解題教學中，應多注意結合一定的素材或數學背景，多注意一題多解，一題多變的思維訓練。特別是一題多解，它是訓練發散思維的好題目，也是有助於提高學生解題能力的。通過比較、回顧，可以讓學生尋求到最優的解題策略。
而在課堂教學中應多注意引導學生自行去做一些探索性或結論發散的題目，也可以讓學生自編一些小題目在同學中進行交流，還可以推薦給學生一些優秀的教輔書或者數學解題方法的書籍。比如在初中階段可以把《初中代數常用解題方法》和《初中平面幾何常用解題方法》推薦給學生，而高中則可以將《高中代數常用解題方法》、《平面三角常用解題方法》、《立體幾何常用解題方法》、《解析幾何常用解題方法》介紹給自己的學生。
為了促進學生思維的進一步往前發展，除了進行必要的思維訓練外，還要在課堂教學中多注意引導、適當的點撥，讓我們的學生在已有知識水平的基礎上能夠「踮起來把蘋果摘到手」，體驗到成功，增強了學生的自信心；同時，也使學生有堅定的信心學好一門學科奠定了基礎。當然可以結合先行新教材的編寫思路和新課標要求多給予學生自主活動的空間，增強課堂的生動性、趣味性，多與生活實際多聯絡、多結合。在進行思維方法的訓練時，應避免搞「題海戰術」，應精選精練，讓學生多發言，訓練概括能力，也是培養思維向前發展的又乙個途徑。
通過以上試題的求證，讓我對此有了一定的思考，現將一些不成熟的思考敘述於下：
思考一：對於學生思維的培養應立足課堂。
在課堂教學過程中多注意運用一些先進的教學方法和一些互助手段，時時貫穿於教學的各個環節，不時加以調控，讓所有學生都能積極、主動地進行自主學習。同時，教師要加以點撥、啟發、引導，目的在於把學生那禁錮的、停滯的思維閥門開啟。將「教師講」轉變為「學生做」，充分發揮學生的主體作用，把「智慧型集中在他的手指尖上」。
思考二：應對學生進行思維方法的訓練。
對於初中學生來說，特別應進行想象、聯想、直覺、靈感、逆向思維等的訓練，同時，也應該進行一些抽象與概括、分析與綜合、比較與類推、歸納與演繹的集中思維的訓練。而思維方法的訓練並不是一朝一夕的事，應貴在堅持。當然，也應注意選好素材，它能啟迪學生大膽的進行思考，而不能打消學生的學習激情，也就是說，能使每位學生都能體驗成功，嚐到一定的成就感。
思考三：應為學生提供乙個好環境。
《學記》曰：「獨學而無友」「孤陋而寡聞」。在教學過程中，多給學生能積極思維的空間，也應有乙個相互協作、相互**的氛圍，這樣可以使每個學生都能看到自己的優劣，還可以使學生與別人的合作得到加深，及時修正、提高自己的思維層次和思維水平。
之後，可以讓每個學生大膽暢敘自己的主見或一些突破性的建設意見，可以增強學生對後繼學習的慾望。而發言的準備實際上就是思維訓練的過程，完全必要的。同時，把一些權力交給學生，自主的進行處理。
這個環境是積極向上的、健康的、朝氣蓬勃的，有一定震懾作用的，相互促進的合作（或協作）環境。
思考四：應注意重視學生的思維個性。
任何乙個問題都源於生活，作用於生活。學生思維個性得以發展，得以張揚，實際上是創新思維得到進一步開發的保證。對於具有這種思維個性的學生來說，思維方式獨具、看法、見解獨到，換句話來說就是與眾不同。
應注意引導，時時加以提醒，把他往正確的道路上引，只有如此，才會不致「曇花一現」，才使其有乙個良好的發展前景。
以上這些都是個人的不成熟看法、想法而已，還有待進一步的去認識、去**、去完善。
參考資料：
1、滕發祥數學解題教學論
數學思維教學新探四川教育出版社
2、吳效鋒主編新課程怎樣教
教學藝術與實踐瀋陽出版社
3、創造力開發讀本（重慶市人事局編印）
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