提要：每一次檢測都是對前一段教學的檢查與反饋，在檢測中所反映出的問題可能是多方面的原因造成的，而造成問題的這些原因如果不能得到正確的認識和糾正，很可能在後面的教學中造成更大、更多的問題。因此，在每一次考試後我們都應該認真分析出現的問題以及問題背後所隱藏的教學中的問題。
本文以一次考試的一道題的問題分析為切入點，通過考試後的資料統計、原因分析、改進措施、問題再思考等幾個環節反思教學，查詢不足，以求不斷優化教學。
關鍵詞：
問題分析教學反思問題再思考
正文：一、由一道考試題引發的思考：
在這次的期中考試中，有這樣一道題目：「點a的座標為（1，1），將點a繞原點逆時針旋轉45°得到點b，則b點座標為題目本來是以基本題考查的，但是考試後統計上來的得分率很不理想，實驗班的得分率為75.7％比其他基礎題得分率低20個百分點左右，僅比最後一道區分度填空題的得分率高10個百分點，而普通班就更為突出，得分率只有35.
9％，較其他基礎題得分率低50個百分點左右，比最後一道填空題的得分率僅高出5個百分點。
這樣一道題目，這樣乙個考試結果，引起了我的幾點思考：
1.導致得分率低的直接失分原因是什麼？
2.教學中的哪個環節出現問題導致學生的這些集中錯誤？
二、 出現錯誤情況統計：
經過對兩個班的在本題失分的34名學生的試卷分析和與學生的談話了解，總結出出現問題的主要原因有以下幾點：
1.對旋轉概念及性質理解不到位，沒有意識到旋轉前後的點a和點b到旋轉中心的點o的距離不變，出現錯誤答案（0，1）。這種錯誤出現最多，共23人。
2.對座標軸上的點的座標特點把握不好，將在y軸上的點b座標寫成[,0)', 'altimg': '', 'w':
'67', 'h': '29'}]。出現這種錯誤的有3人。
3.審題不認真，弄錯旋轉方向，出現錯誤答案[,0)', 'altimg': '', 'w': '67', 'h': '29'}]。出現這種錯誤的有3人。
4.同時出現1、2中的兩種錯誤，出現錯誤答案（1,0）。這種錯誤的有2人。
5.沒有畫圖分析，想當然的寫出答案。這種錯誤有2人。
6.對點的座標概念不理解，不知道如何解決問題。這種錯誤有1人。
三、反思教學中存在的問題：
在這些出現的錯誤的情況中，我重點思考了第一種錯誤所反映出的教學過程中存在的問題。
回想在旋轉作圖的教學中，我使用課件演示點的旋轉，留下了點的旋轉軌跡——弧，然後作出旋轉角與弧相交，從而確定旋轉後點的位置。在黑板上作圖時，作出旋轉角後借助刻度尺測量擷取，沒有借助圓規畫弧擷取。對於我們老師來說，這部分內容沒有要求尺規作圖，所以用刻度尺擷取和用圓規擷取都是可以的。
大多數孩子也可以理解在旋轉過程中旋轉的點與旋轉中心的距離不發生變化。但是，也有一部分頭腦中圖形表象建立不好的學生因為作圖中少了很關鍵的一條弧，而在考查座標系內點的旋轉時沒有意識到ob=oa=[', 'altimg': '', 'w':
'26', 'h': '29'}]，出現解答錯誤。
四、補救措施：
在試卷講評時，注意了作圖中「弧」的重要作用，規範演示旋轉作圖，使學生認識到自己的錯誤。在此基礎上從改變已知點的座標、改變旋轉角度、改變旋轉方向等方面進行了變式練習。這樣，在解決問題的同時幫助學生在頭腦中形成「形」，從而更準確、更深入的理解旋轉的性質，也便於更好的應用。
五、對問題的再思考：
經過這次出現的問題，也讓我對教學中的作圖教學進行了進一步的思考，在哪些內容教學時還存在這樣不能預設的「弧」？
（一）在處理有關旋轉問題時，需要畫出點的運動軌跡，幫助學生借助直觀圖形理解知識、分析問題。
例如，已知：如圖，將正方形abcd沿bc邊所在直線l進行平面內的翻滾，幾次翻滾後bc再次落在直線l上的點b』c』處，求正方形abcd運動過程中點a所經過的路徑長。
在解決這一問題時，一定要讓學生用圓規畫出點a的運動軌跡---三條弧，學生自然就會借助弧長公式進行計算，而不會錯誤的計算成線段長度。
又如，如圖1，已知△是等腰直角三角形，，點是的中點．作正方形，使點分別在和上，連線．
（1）試猜想線段和的數量關係，請直接寫出你得到的結論．
（2）將正方形繞點逆時針方向旋轉一定角度後（旋轉角度大於，小於或等於360°），如圖2通過觀察或測量等方法判斷（1）中的結論是否仍然
成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
（3）若，在（2）的旋轉過程中，當為最大值時，直接寫出的長．
在解決這道題的第（3）問時，可以先讓學生分析出點e的運動過程，再讓學生畫出點e的運動軌跡，繼而可以讓學生在點e的所有可能位置中分析哪個位置能使ae達到最大值。確定完e點的位置後，在進一步畫出點e運動到這一位置後正方形defg的位置，在此基礎上連線af，並運用所學知識計算出此時af的長。
這樣讓學生一步步畫圖分析，學生也就不會覺得無從下手，尤其關鍵的圓畫出後，學生便可在圓上確定點e的位置，而不致整個平面內去找點e。同時，這個畫圖分析的過程也可以幫助學生積累一些解決旋轉問題的分析方法。
（二）在一些需要分情況討論的幾何題中，利用畫出的輔助的弧，可以幫助學生更好的畫全符合題意的圖形。
例如，已知：△中，∠a=30°，ab=12，bc=10，求ac的長。
解決此類問題時，學生易出現的問題是不能根據題意畫出圖形的兩種情況，進而造成丟解。教學中可以在學生畫圖時借助直尺、量角器和圓規。先作出相鄰的邊和角，即用量角器先作出∠man=30°，在其一邊am上用刻度尺或圓規擷取ab=12，然後以b為圓心，10為半徑畫弧，與an交於兩點：
點c和點c』，這樣就可以得到△abc的兩種形狀，再進一步結合直角三角形的性質完成計算即可。
當然，解決本題並不是目的，目的在於讓學生樹立沒有要求尺規作圖的時候也可以借助圓規作圖，並注意在在豐富的練習中讓學生體會「弧」的重要作用，不斷總結什麼情況下需要借助圓規畫弧來幫助解決問題。
（三）在根據要求確定符合條件的點的問題中，常常需要畫出點所可能在的直線或弧。
解決這類問題往往可以根據點需要滿足的不同條件畫出符合題意的相應點的集合，在確定其公共部分，從而不重、不漏的找到所需要的點。
例如，已知：在平面直角座標系中，點a的座標為（0,2），點b的座標為（4,0）.
（1） 在x軸上確定點c,使得△abc為等腰三角形，求出c點座標；
（2） 在x軸上確定點c,使得△abc為等腰三角形，求出c點座標.
解決這兩個問題都需要分情況討論，情況比較複雜，結合作圖會使問題變得直觀、清晰、簡單。
解決問題（1）時，需要畫出點c可能在的「一線兩圓」，繼而確定其與x 軸的交點，即點c，共四個，再進一步求出其座標。
解決問題（2）時，需要畫出點c可能在的「兩線一圓」，繼而確定其與x 軸的交點，即點c，共兩個，再進一步求出其座標。
這樣作**題，更容易讓學生理解、掌握。
總之，在很多問題中，作圖方法與作圖痕跡可以更有效的幫助學生理解知識、掌握解決問題的方法，我們應該讓學生充分體驗分析、作圖、解答的過程，決不能包辦代替，也不能因為我們老師熟悉了而省略了很多過程，而是要引導發現、規範作圖、總結提公升，幫助學生掌握知識的同時提高分析問題的能力、作圖與識圖能力。
1．章建躍，《中學數學教學概論》，北京師範大學出版社，2023年4月版；
2．章建躍，《數學教育心理學》，北京師範大學出版社，2023年6月版。
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