株洲市楓葉中學張福來 （412000）
內容摘要：通過一道中考題的變式與拓展，介紹求可展曲面的幾何體表面上兩點間的最短路線長的思路和方法。
關鍵詞：變式、側面展開成平面圖、最短路線長、創新、轉化。
一些課本數學習題、中考數學試題在平常數學教學中若能變式拓展得當，既能提高學生數學學習興趣，又能拓展學生的思維，使學生對所學知識和方法能舉一反
三、融會貫通，進而達到培養學生的創新意識和創新能力的目的。下面舉例來說明：
原題：如圖1，一圓錐的底面直徑ab長為4，母線pb的長為6，點d為pb的中點，乙隻螞蟻從點a出發沿著圓錐的側面爬行到點d，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）。
a. 3 b. c. d.
原題解答：
方法1：沿pa將圓錐側面展開成平面圖扇形apa』（如圖2）,b為弧a a』的中點，連線ab、ad,則弧a a』所對的圓心角n度滿足： 解得n=120 即從而所以為等邊三角形，∴ad=6sin60。
=3即求 （∴選d
方法2：如圖3作軸截面圖，連線ad，作ae⊥pb,垂足為e,設be=x則 42－x2=62－(6－x)2 解得 x= 即be= de=
∴ad2=de2+ae2＞be2+ae2=42
∴ad＞4
又a、d間的曲線長更大於4, 而3 、 、2都小於4，
故選項a、b、c都不符合，只有選d。
將原題結論變化，進一步理解和掌握解法1思路
變式1：如圖1，一圓錐的底面直徑ab長為4，母線pb的長為6，乙隻螞蟻從點a出發沿著圓錐的側面爬行到點b，則螞蟻爬行的最短路程為
解：由原題解法1易知螞蟻爬行的最短路程為圖2中的弦ab的長6
變式2：如圖1，一圓錐的底面直徑ab長為4，母線pb的長為6，點d為pb的中點，乙隻螞蟻從點a出發沿著圓錐的側面爬行一周回到起點a，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）
解：如圖4連線a』b，pa』ba由原題解法1思路知四邊形pa』ba為菱形，從而aa』=2ad=6，故螞蟻爬行的最短路程為6。
將原題條件和結論都發生變化，進一步使知識和方法得到遷移，理解和融會貫通所學知識和方法。
變式3：如圖5，一圓錐的底面直徑ab長為4和母線pb的長均為2，點d為pb上的一點，且pd=x, 乙隻螞蟻從點a出發沿著圓錐的側面爬行到點d的最短路線長為y ，則y與x之間的函式關係為
解：沿pa將圓錐側面展開成平面圖扇形aba』p（如圖6）,b為弧a a』的中點，則弧a a』所對的圓心角n°滿足： 解得n=180°, 即. 從而
∴ad2=ap2+pd2 即y2=42+x2
∴y= （）即求。
變式4：如圖7，一圓柱的底面半徑長為5，母線ab的長為10，用一根細繩從a出發繞圓柱一周到b,問繩子至少要多長？
解：沿ab將側面剪開，展成乙個矩形（如圖8），連線ab1，易知繩子的最短長為線段ab1的長，
即 ab1= 為所求。
練習（2023年懷化市初中畢業學業考試試題第20題）：
如圖所示的圓柱體中底面圓的半徑是，高為，若乙隻小蟲從點出發沿著圓柱體的側面爬行到點，則小蟲爬行的最短路程是結果保留根號）
變式5：如圖9在長方體a1b1c1d1-abcd中，ab=5，bc=4，bb1=3，乙隻螞蟻從a點出發沿長方體表面爬行到c1點，求它爬行的最短路程為多少？
分析：要求最短路程，可將長方體曲面分別沿ab、aa1和ad剪開，展成平面圖形，然後求出線段a』c1的最短長度即可。
解：如圖10，①沿ab剪開，得矩形a』b』c1d1,由勾股定理，得==
②沿aa1剪開，得矩形c1a1』a』c,由勾股定理，得==
③沿ad剪開，得矩形a』d』c1b1,由勾股定理，得==
比較得：這只螞蟻爬行的最短路程為。
說明：此類問題多出現在選擇題中，求解時，沿經過其中一點的最長稜剪開，展開成平面圖即可得到思路。
變式6：如圖11已知圓台上、下底面半徑為1、2，母線ab的長為4，從下底面圓周上的點a出發，緊繞圓台側面一周到達點b的曲線中，最短曲線的長為多少？
分析：如圖12，為了求最短曲線的長，需要將圓台的側面沿母線ab剪開，展成平面圖形，這樣，問題即轉化求扇形環內a、b『兩點最短曲線的長。連線ab『，則線段ab『有一部分不在扇形環之內，故不可取線段ab『。
可以證明，在扇形環內a、b『兩點之間的最**路是從a點向弧bb』引切線aq,再確定在扇形環內從q到b』最短的路線即弧qb』，故最短曲線為aq+弧qb』。
解：由已知圓台上、下底面半徑為1、2，母線ab的長為4，可求得圓台所在的圓錐的母線長為8，側面展開的中心角n°滿足： 解得n=90 , 即從a點向弧bb』引切線aq，切點為q，連線oq,則,在rtδaoq中，aq2=oa2-oq2=48,故aq=4.
又,從而
故弧qb』長為，所求最短曲線長為。
說明：求圓柱、圓錐、圓台側面上兩點之間的最短路線，一般是將它們沿適當的一條母線剪開，得到側面展開圖，轉化為求矩形、扇形、扇形環內兩點間路線的最短問題來解決。
綜上所述，求一般幾何體面上的點與點之間的路線最短問題，可設法轉化為平面幾何中的兩點之間的路線最短問題來解決。這種轉化的基本思路是將曲面按題意選擇一定的位置剪開，展成平面圖形，把問題轉化為平面圖形上兩點間的距離問題加以解決。
一道「高考題」引發的思考
摘要 本文主要內容是從一道考察生活實際問題的高考題出發，根據新課標的指導要求，對新教材新增加的欄目 做一做 和 科學漫步 在物理教學中的利用，總結出了一些個人的教學反思和心得，用以幫助在教學中如何更好地提高學生解決生活實際問題能力，並進一步提高學生的綜合素質，提高物理課堂實效。關鍵詞 做一做 科學漫...
對一道課本習題的欣賞 拓展與評價
利川市長順中學徐高 幾何教學要重視學生思維能力的培養，引導學生如何運用幾何性質和判定思考問題，這些已經越來越引起廣大教師重視，但如何在教學中實現這一目標，卻成為教學評價的瓶頸，筆者在教學過程中盡量拓寬學生思路，努力做到用變化的觀點分析幾何問題。在北師大版八年級 下 164頁中第12題，我在教學時，突...
一道三角不等式的多元變式推廣
隆建軍 四川省攀枝花市大河中學，四川攀枝花617061 摘要 本文利用cauchy不等式和推廣的均值不等式對乙個三角不等式進行了深入的 得到了一系列的不等式 關鍵詞 三角不等式 多元變式推廣 cauchy不等式 推廣的均值不等式 數學通訊 學生刊 2013年第1 2期問題123給出了如下三角不等式 ...