中考專題複習對比解法反思教學
本文用三種方法證明一道反比例函式中考題.這三種方法的思維起點不同，我們可以從解題思路的形成過程中，對比各種方法的優劣，以提高解題能力.
一、問題
(2023年淄博中考題)反比例函式(，為常數)和在第一象限內的圖象如圖1所示，點在的圖象上，軸於點，交的圖象於點；軸於點，交的圖象於點，當點在的圖象上運動時，以下結論：
①②四邊形的面積不變;、
③當點是的中點時，則點是的中點.
其中正確結論的個數是( )
(a)0b)1c)2d)3
二、解法
分析1 ①②解答易，略.
③如圖1，要證明點是的中點，因為是的中點，若，有
，則點是的中點成立.
由於點、在同一反比例函式圖象上，可聯想到圖2所示的，這兩個三角形面積相等如何聯絡到？於是想到圖3中，當時，有.
至此，圖1中，將積轉化成、兩線中間的三角形，就成為求解的關健.根據兩條平行線之間同底的三角形面積相等，由，，這樣就把等積轉化成.
同理，由，，把等積轉化成
則與就是我們要尋找的三角形.
又，∴再由圖3基本圖形的結論可以得到.
證明1 鏈結、、、
∵點、在同一反比例函式上，∴∵，
∴，∴∴∴
∴∵是的中點
∴是的中點
分析，③由題意可知，若成立，當點是的中點時，點是的中點成立.
我們考慮能否用代數方法求出線段、、、的長，再算出和的值，然後看和的值是否相等，這個思路更樸素一些.
如圖4，不妨設，點、在反比例函式上，
則，，還可以求出，，
容易求出線段的長為
線段的長為，線段的長為，線段bd的長為
又，所以，問題得證.
證明2 設
軸，軸，
∵點、在反比例函式上
∴，∴，，，∴，.
∴.∵是的中點
∴是的中點.
分析3 ③如圖5，由題意可知，點是的中點，若成立，則點是的中點成立.於是，問題就轉化成證明
點和在同乙個反比例函式的圖象上，容易想到的是作，；則矩形和矩形面積相等，即，
又由，容易得出
而 (或)要關聯才行，顯然它們之間沒有直接聯絡，繼續觀察圖形，可以看到、.於是把換成，問題又轉化 (或)，需要.由圖4可以看到
，這樣，由，可以輕鬆得出，進而證明了
證明3 作，，和交點為.
∵點、在同一反比例函式上，∴∴
∵，，∴∵是的中點
∴是的中點
3對比解法，反思教學
以上證法1主要應用了圖2和圖3兩個基本圖形的結論，解題時要求能想到著兩個結論，還要在圖1中新增輔助線構造出圖3所示的基本圖形，才能證明出圖1中的.證法2的起點低，用代數方法解決，設出點的座標，用代數方法分別求出線段、、、的長，再計算線段之比，得出結論.證法3從學生熟悉的結論入手，一步一步向靠攏，當發現不能直接得出結論時，將相等的線段進行替換，欲證的轉化成，而經過變形變為，從而與學生熟悉的 「無縫對接」，問題得證.
解法1的思維起點是圖2和圖3所示兩個基本圖形的結論，有了這2個兩個基本圖形結論的經驗、就容易想到解法1.筆者用解法1教學時沒有達到預期的效果，於是想到能不能用代數方法求解，**後發現解法2的起點低，設出的座標後，只要計算無誤，就能正確解答.解法2易於理解，但不能確定什麼條件下用代數方法求解，什麼條件下不能用代數方法求解.
這三種解法相比，解法2最簡單，學生容易接受，類似的問題也可以用同樣的方法解決.
解法3符合學生的思路.學生對圖5中較為熟悉，從學生熟悉的入手，一環扣一環的展開思考，順利引導學生獨立證明了問題.與解法2相比，解法3稍繁瑣.
但在證明的過程中，學生運用了反比例函式問題中的面積法，強化了數學解題中的轉化思想，發展了學生的思維，提高了學生的解題能力.
綜上所述，在解題教學中，要從學生的實際情況出發，找到學生思維的最近發展區，根據學生現有的知識積累和解題經驗尋找解題思路.這樣的解題思路才是學生易於理解的思路;這樣的解題教學可以發展學生的數學思維，培養學生的解題習慣，提高學生的解題能力.
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