高考要求
充分條件、必要條件和充要條件是重要的數學概念，主要用來區分命題的條件p和結論q之間的關係本節主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準確判定給定的兩個命題的充要關係
重難點歸納
(1)要理解「充分條件」「必要條件」的概念當「若p則q」形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假
(2)要理解「充要條件」的概念，對於符號「」要熟悉它的各種同義詞語「等價於」，「當且僅當」，「必須並且只需」，「……，反之也真」等
(3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質
(4)從集合觀點看，若ab，則a是b的充分條件，b是a的必要條件；若a=b，則a、b互為充要條件
(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性)
典型題例示範講解
例1已知p|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若p是q的必要而不充分條件，求實數m的取值範圍
命題意圖本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查物件，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應用，強調了知識點的靈活性
知識依託本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進行轉化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明瞭
錯解分析對四種命題以及充要條件的定義實質理解不清晰是解此題的難點，對否命題，學生本身存在著語言理解上的困難
技巧與方法利用等價命題先進行命題的等價轉化，搞清晰命題中條件與結論的關係，再去解不等式，找解集間的包含關係，進而使問題解決
解由題意知
命題若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為p是q的充分不必要條件
p:|1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10
q:x2－2x+1－m2≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0 *
∵p是q的充分不必要條件，
∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的子集
又∵m>0
∴不等式*的解集為1－m≤x≤1+m ∴，∴m≥9，
∴實數m的取值範圍是［9，+∞
例2已知數列的前n項sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數列是等比數列的充要條件
命題意圖本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴謹性
知識依託以等比數列的判定為主線，使本題的閃光點在於抓住數列前n項和與通項之間的遞推關係，嚴格利用定義去判定
錯解分析因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明
技巧與方法由an=關係式去尋找an與an+1的比值，但同時要注意充分性的證明
解a1=s1=p+q
當n≥2時，an=sn－sn－1=pn－1(p－1) ∵p≠0,p≠1,∴=p
若為等比數列，則=p ∴=p,
∵p≠0，∴p－1=p+q，∴q=－1
這是為等比數列的必要條件
下面證明q=－1是為等比數列的充分條件
當q=－1時，∴sn=pn－1(p≠0,p≠1)，a1=s1=p－1
當n≥2時，an=sn－sn－1=pn－pn－1=pn－1(p－1)
∴an=(p－1)pn－1 (p≠0,p≠1) =p為常數
∴q=－1時，數列為等比數列即數列是等比數列的充要條件為q=－1
例3已知關於x的實係數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β，
證明|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件
證明(1）充分性由韋達定理，得|b2×2=4
設f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線
又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0
即有4+b>2a>－(4+b) 又|b|＜44+b>02|a|＜4+b
(2)必要性
由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線
∴方程f(x)=0的兩根α，β同在(－2，2）內或無實根
∵α，β是方程f(x)=0的實根， ∴α，β同在(－2，2）內，即|α|＜2且|β|＜2
例4 寫出下列各命題的否定及其否命題，並判斷它們的真假.
（1）若x、y都是奇數，則x+y是偶數；
（2）若xy=0，則x=0或y=0；
（3）若乙個數是質數，則這個數是奇數.
解：（1）命題的否定：x、y都是奇數，則x+y不是偶數，為假命題.
原命題的否命題：若x、y不都是奇數，則x+y不是偶數，是假命題.
（2）命題的否定：xy=0則x≠0且y≠0，為假命題.
原命題的否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0，是真命題.
（3）命題的否定：乙個數是質數，則這個數不是奇數，是假命題.
原命題的否命題：若乙個數不是質數，則這個數不是奇數，為假命題.
例5 有a、b、c三個盒子，其中乙個內放有乙個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條.
a盒子上的紙條寫的是「蘋果在此盒內」，
b盒子上的紙條寫的是「蘋果不在此盒內」，
c盒子上的紙條寫的是「蘋果不在a盒內」.
如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子裡？
解：若蘋果在a盒內，則a、b兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意.
若蘋果在b盒內，則a、b兩個盒子上的紙條寫的為假，c盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在b盒內.
同樣，若蘋果在c盒內，則b、c兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.
綜上，蘋果在b盒內.
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