專題25：概率
【複習要點】
本章內容分為概率初步和隨機變數兩部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有乙個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率和獨立重複實驗.第二部分包括隨機變數、離散型隨機變數的期望與方差.
涉及的思維方法：觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化.
主要思維形式有：邏輯思維、聚合思維、形象思維和創造性思維.
【例題】
【例1】 已知甲、乙兩名籃球運動員投籃命中率分別為0.7和0.8．
（1）如果每人各投籃一次，求甲、乙兩人中至少一人進球的概率；
（2）如果兩人比賽，各投籃2次，求甲戰勝乙的概率．
解：設甲、乙兩名籃球運動員投籃進球分別記為事件，則為獨立事件．
（1）或 （2）甲戰勝乙有1比0、2比0、2比1三種情形，
【例2】 排球比賽的規則是5局3勝制，a、b兩隊每局比賽獲勝的概率都相等且分別為和.（1）前2局中b隊以2:0領先，求最後a、b隊各自獲勝的概率；
（2）b隊以3:2獲勝的概率．
解：（1）設最後a獲勝的概率為設最後b獲勝的概率為
（2）設b隊以3:2獲勝的概率為．
【例3】 如圖，用a、b、c三類不同的元件連線成兩個系統n1、n2，當元件a、b、c都正常工作時，系統n1正常工作；當元件a正常工作且元件b、c至少有乙個正常工作時，系統n2正常工作.已知元件a、b、c正常工作的概率依次為0.80,0.
90,0.90，分別求系統n1，n2正常工作的概率p1、p2.
解：記元件a、b、c正常工作的事件分別為a、b、c，由已知條件p(a)=0.80, p(b)=0.90,p(c)=0.90.
(1)因為事件a、b、c是相互獨立的，所以，系統n1正常工作的概率p1=p(a·b·c)=p(a)p(b)p(c)=0.648,故系統n1正常工作的概率為0.648
(2)系統n2正常工作的概率p2=p(a)·［1－p()］
=p(a)·［1－p()p()］
=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792
故系統n2正常工作的概率為0.792
【例4】 有a、b兩個箱子，a箱中有6張相同的卡片，其中一張寫有0，兩張寫有1，三張寫有2；b箱中有7張相同的卡片，其中四張寫有0，一張寫有1，兩張寫有2，現從a箱中任取1張，從b箱中任取2張，共3張卡片。
求：（1）3張卡片都寫有0的概率；
（2）3張卡片中數字之積為0的概率。
解：（1）
（2）【例5】 袋裡裝有35個球，每個球上都標有從1到35的乙個號碼，設號碼n的球重（克）．這些球以等可能性（不受重量的影響）從袋裡取出．
（1）如果任意取出一球，試求其重量大於號碼數的概率；
（2）如果同時任意取出二球，試求它們重量相同的概率．
解：（1）由不等式得n＞15，n＜3，
由題意知n＝1，2，或n＝16，17，…，35．於是所求概率為
（2）設第n號與第m號的兩個球的重量相等，其中n＜m，
則有，所以，
因為n≠m，所以n＋m＝15，（n，m）＝（1，14），（2，13），…（7，8），
但從35個球中任取兩個的方法數為，
故所求概率為
【例6】 已知：有6個房間安排4個旅遊者住，每人可以進住任一房間，且進住房間是等可能的，試求下列各事件的概率：（ⅰ）事件a：
指定的4個房間各有1人；（ⅱ）事件b：恰有4個房間各有1人；（ⅲ）事件c：指定的某個房間有2人。
解：由於每人可進住任1房間，進住哪間房是等可能的，每人都有6種等可能的方法，
根據乘法原理，4人進住6個房間共有64種方法
（1）指定的4個房間各有1人，有種方法，
（2）從6間中選出4間有種方法，4個人每人去1間有種方法，
（3）從4人中選2個人去指定的某個房間，共有種選法，餘下2人每人都可去5個房間中的任1間,因而有52種種方法。
【例7】 乙個電路中有三個電子元件，它們接通的概率都是m（0＜m＜1如圖，有如下三種聯接方法：
（1）分別求出這三種電路各自接通的概率；
（2）試分析這三種電路哪種效能最優，並證明你的結論.
解：（1）三種電路各自接通分別記為事件a1、a2、a3，則p（a1）=m3
p（a2）=1－（1－m）3=3m－3m2+m3
p（a3）=2（1－m）m2+m3=2m2－m3
（2）p（a2）－p（a1）=3m－3m2=3m（1－m）
∵0＜m＜1 ∴p（a2）＞p（a1）
p（a2）－p（a3）=2m3－5m2+3m=m（2m－3）（m－1）＞0
∴p（a2）＞p（a3）
三個電子元件併聯接通的概率最大，故效能最優
【例8】 某廠生產的a產品按每盒10件進行包裝，每盒產品均需檢驗合格後方可出廠．質檢辦法規定：從每盒10件a產品中任抽4件進行檢驗，若次品數不超過1件，就認為該盒產品合格；否則，就認為該盒產品不合格．已知某盒a產品中有2件次品．
（1）求該盒產品被檢驗合格的概率；
（2）若對該盒產品分別進行兩次檢驗，求兩次檢驗得出的結果不一致的概率．
解：(1)從該盒10件產品中任抽4件，有等可能的結果數為種，＇
其中次品數不超過1件有種，
被檢驗認為是合格的概率為．
(2)兩次檢驗是相互獨立的，可視為獨立重複試驗，
因兩次檢驗得出該盒產品合格的概率均為，
故「兩次檢驗得出的結果不一致」即兩次檢驗中恰有一次是合格的概率為
．答：該盒產品被檢驗認為是合格的概率為；兩次檢驗得出的結果不一致的概率為．
【例9】 某先生居住在城鎮的a處，準備開車到單位b處上班. 若該地各路段發生堵車事件都是相互獨立的，且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，發生堵車事件的概率如圖.（例如：
a→c→d算作兩個路段：路段ac發生堵車事件的概率為，路段cd發生堵車事件的概率為
（1）請你為其選擇一條由a到b的路線，使得途中發生堵車事件的概率最小；
（2）若記路線a→c→f→b中遇到堵車次數為隨機變數，求的數學期望
解：（1）記路段mn發生堵車事件為mn.
因為各路段發生堵車事件都是獨立的，
且在同一路段發生堵車事件最多只有一次，
所以路線a→c→d→b中遇到堵車
的概率p1為
=1－[1－p（ac）][1－p（cd）][1－p（db）]
=1－；
同理：路線a→c→f→b中遇到堵車的概率p2為1－p（
路線a→e→f→b中遇到堵車的概率p3為1－p（
顯然要使得由a到b的路線途中發生堵車事件的概率最小.只可能在以上三條路線中選擇.
因此選擇路線a→c→f→b，可使得途中發生堵車事件的概率最小.
（2）路線a→c→f→b中遇到堵車次數可取值為0，1，2，3.
答：路線a→c→f→b中遇到堵車次數的數學期望為
【例10】 某電器商經過多年的經驗發現本店每個月售出的電冰箱的台數ζ是乙個隨機變數，它的分布列如下：
設每售出一台電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積於倉庫，則每台每月需花保養費用100元，問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？
解：設x為月初電器商購進的冰箱台數，只須考慮1≤x≤12的情況，設電器商每月的收益為y元，則y是隨機變數ζ的函式且y=,電器商平均每月獲益的平均數，即數學期望為：
ey=300x(px+px+1+…+p12)+［300－100(x－1)］p1+［2×300－100(x－2)］p2+…+［300(x－1)－100］px－1
=300x(12－x+1) +［300×］
= (－2x2+38x)
由於x∈n,故可求出當x=9或x=10時，也即電器商月初購進9臺或10臺電冰箱時，收益最大.
【例11】 袋中裝有3個白球和4個黑球，現從袋中任取3個球，設ξ為所取出的3個球中白球的個數．
（i）求ξ的概率分布； （ii）求eξ．
解：（i）ξ的可能取值為0，1，2，3.
∵p（ξ＝0p（ξ＝1）＝＝；
p（ξ＝2p（ξ＝3）＝＝.
∴ξ的分布列為：
（ii）eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【例12】 甲，乙兩射擊運動員進行射擊比賽，射擊相同的次數，已知兩運動員射擊的環數穩定在7，8，9，10環。他們的這次成績畫成頻率直方分布圖如下：
擊中頻率擊中頻率
7 8 9 10 擊中環數7 8 9 10 擊中環數
甲乙（1）根據這次比賽的成績頻率直方分布圖推斷乙擊中8環的概率，以及求甲，乙同時擊中9環以上（包括9環）的概率；
（2）根據這次比賽的成績估計甲，乙誰的水平更高（即平均每次射擊的環數誰大）.
解（1）由圖可知，，
所以=1—0.2—0.2—0.35=0.25
同理，，
所以因為
所以甲，乙同時擊中9環以上（包括9環）的概率
p==0.65×0.55=0.3575
(2) 因為=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8
=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7
> 所以估計甲的水平更高.
【例13】 有一容量為50的樣本，資料的分組及各組的頻率數如下：
［10，15］4 ［30，359 ［15，205 ［35，408 ［20，2510 ［40，453 ［25，3011
(1)列出樣本的頻率分布表(含累積頻率)；
(2)畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖.
解：(1)由所給資料，計算得如下頻率分布表
(2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下：
【概率練習】
一、選擇題
1、甲射擊命中目標的概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為( )
2、已知隨機變數ζ的分布列為：p(ζ=k)=,k=1,2,3,則p(3ζ+5)等於( )
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