數列求和的常用方法
數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎。在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位。數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧。
下面，簡單介紹下數列求和的基本方法和技巧。
第一類：公式法
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法。
1、等差數列的前項和公式
2、等比數列的前項和公式
3、常用幾個數列的求和公式
（1）、
（2）、
（3）、
第二類：乘公比錯項相減（等差等比）
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中，分別是等差數列和等比數列。
例1：求數列(為常數)的前項和。
解：ⅰ、若=0， 則=0
ⅱ、若=1，則
ⅲ、若≠0且≠1，
則 ①
②①式—②式：
綜上所述：
解析：數列是由數列與對應項的積構成的，此型別的才適應錯位相減，（課本中的的等比數列前n項和公式就是用這種方法推導出來的），但要注意應按以上三種情況進行分類討論，最後再綜合成三種情況。
第三類：裂項相消法
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的通項分解（裂項）如：
1、乘積形式，如：
（1）、
（2）、
（3）、
（4）、
2、根式形式，如：
例2：求數列，，，…，，…的前項和
解：∵=
例3：求數列，，，…，，…的前項和
解：由於： =）
則： 解析：要先觀察通項型別，在裂項求和時候，尤其要注意：究竟是像例2一樣剩下首尾兩項，還是像例3一樣剩下四項。
第四類：倒序相加法
這是推導等差數列的前項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到個。
例4：若函式對任意都有。
（1），數列是等差數列嗎？是證明你的結論；
（2）求數列的的前項和。
解：（1）、（倒序相加）
則，由條件：對任意都有。
從而：數列是的等差數列。
（2）、==
故： =
解析：此型別關鍵是抓住數列中與首末兩端等距離的兩項之和相等這一特點來進行倒序相加的。
此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項相消法。在數列問題中，要學會靈活應用不同的方法加以求解。
第五類：分組求和法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可。
例5：求數列的前項和
解：令令 ①
②①式—②式：
故： 例6：求數列{}的前項和
分析：將用完全平方和公式展開，再將其分為幾個數列的和進行求解。
解： ===
（首項，公比等比數列） （常數列） （首項，公比等比數列）
ⅰ、令①時， =
②時，=ⅱ、令
ⅲ、令①時，
②時，*****
=綜上所述：
①時，②時，這個題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應用。
第六類：拆項求和法
在這類方法中，我們先研究通項，通項可以分解成幾個等差或等比數列的和或差的形式，再代入公式求和。
例7：求數列9，99，999，… 的前n項和
分析：此數列也既不是等差數列也不是等比數列啟發學生先歸納出通項公式可轉化為乙個等比數列與乙個常數列。分別求和後再相加。
解：由於：
則： 例8： =
解：由於：
則： =（等差+等比，利用公式求和）==
解析：根據通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數列，然後再分別求和。
數列的求和,涵蓋所有高中數列求和的方法
數列的求和 一 教學目標 1 熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式 2 能運用倒序相加 錯位相減 拆項相消等重要的數學方法進行求和運算 3 熟記一些常用的數列的和的公式 二 教學重點 特殊數列求和的方法 三 教學過程 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和...
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數列的求和 一 教學目標 1 熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式 2 能運用倒序相加 錯位相減 拆項相消等重要的數學方法進行求和運算 3 熟記一些常用的數列的和的公式 二 教學重點 特殊數列求和的方法。三 教學過程 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和...
高中數列求和方法大全習題 較難
數列的求和 一 教學目標 1 熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式 2 能運用倒序相加 錯位相減 拆項相消等重要的數學方法進行求和運算 3 熟記一些常用的數列的和的公式 二 教學重點 特殊數列求和的方法 三 教學過程 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和...