數列的求和
1．直接法：即直接用等差、等比數列的求和公式求和。
（1）等差數列的求和公式：
（2）等比數列的求和公式（切記：公比含字母時一定要討論）
2．公式法：
3．錯位相減法：比如
4．裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。
常見拆項公式
（三）例題分析：
例1．求和：①
求數列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n項和
思路分析：通過分組，直接用公式求和。
解：①②
（1）當時，
（2）當
③總結：運用等比數列前n項和公式時，要注意公比討論。
2．錯位相減法求和
例2．已知數列，求前n項和。
思路分析：已知數列各項是等差數列1，3，5，…2n-1與等比數列對應項積，可用錯位相減法求和。
解：當 當
3.裂項相消法求和
例3.求和
思路分析:分式求和可用裂項相消法求和.
解: 練習:求答案:
4.倒序相加法求和
例4求證：
思路分析：由可用倒序相加法求和。
證：令則
等式成立
1．是首項a1＝1，公差為d＝3的等差數列，如果an＝2 005，則序號n等於( )．
解析：由題設，代入通項公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．
2．在各項都為正數的等比數列中，首項a1＝3，前三項和為21，則a3＋a4＋a5＝
解析：本題考查等比數列的相關概念，及其有關計算能力．
設等比數列的公比為q(q＞0)，由題意得a1＋a2＋a3＝21，
即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．
解得q＝2或q＝－3(不合題意，捨去)，
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．
3．如果a1，a2，…，a8為各項都大於零的等差數列，公差d≠0，則( b )．
a．a1a8＞a4a5 b．a1a8＜a4a5 c．a1＋a8＜a4＋a5 d．a1a8＝a4a5
解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除c．
又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．
4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成乙個首項為的等差數列，則
｜m－n｜等於( c )．
解法1：設a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中兩根之和為2，x2－2x＋n＝0中兩根之和也為2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，
∴d＝，a1＝，a4＝是乙個方程的兩個根，a1＝，a3＝是另乙個方程的兩個根．
∴，分別為m或n，∴｜m－n｜＝，故選c．
f2：設方程的四個根為x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差數列的性質：若γ＋s＝p＋q，則aγ＋as＝ap＋aq，若設x1為第一項，x2必為第四項，則x2＝，於是可得等差數列為，，，，∴m＝，n＝，∴｜m－n｜＝．
5．等比數列中，a2＝9，a5＝243，則的前4項和為∴s4＝＝＝120．
∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27， ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，
6．若數列是等差數列，首項a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，則使前n項和sn＞0成立的最大自然數n是( )．．4 005 ．4 006 ．4 007 ．4 008
解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004兩項中有一正數一負數，又a1＞0，則公差為負數，否則各項總為正數，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.
∴s4 006＝＝＞0，
∴s4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，
故4 006為sn＞0的最大自然數. 選b．
解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，
∴s2 003為sn中的最大值．
∵sn是關於n的二次函式，如草圖所示，
∴2 003到對稱軸的距離比2 004到對稱軸的距離小，
∴在對稱軸的右側．
根據已知條件及圖象的對稱性可得4 006在圖象中右側零點b的左側，4 007，4 008都在其右側，sn＞0的最大自然數是4 006．
7．已知等差數列的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列, 則a2＝－8＋2＝－6．
∵是等差數列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，
又由a1，a3，a4成等比數列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，
8．設sn是等差數列的前n項和，若＝，則＝( )
∵＝＝＝·＝1
9．已知數列－1，a1，a2，－4成等差數列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數列，則設d和q分別為公差和公比，則－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，
∴d＝－1，q2＝2，∴＝＝．
10．在等差數列中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若s2n－1＝38，則n＝( 10 )．
∵為等差數列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，又an≠0，
∴an＝2，為常數數列，而an＝，即2n－1＝＝19，
11．設f(x)＝，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為
∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝＝，
∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝＝．
設s＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，
則s＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)，
∴2s＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋[f(－5)＋f(6)]＝6，
∴s＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝3．
12．已知等比數列中，
(1)若a3·a4·a5＝8，則a2·a3·a4·a5·a6
由a3·a5＝，得a4＝2，∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32
(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，則a5＋a6
，∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．
(3)若s4＝2，s8＝6，則a17＋a18＋a19＋a20
，∴a17＋a18＋a19＋a20＝s4q16＝32．
14．在等差數列中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，則此數列前13項之和為 .
∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，
∴s13＝＝＝＝26
15．在等差數列中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝－49
∵d＝a6－a5＝－5，∴a4＋a5＋…＋a10＝＝＝7(a5＋2d)
17．(1)已知數列的前n項和sn＝3n2－2n，求證數列成等差數列.
(2)已知，，成等差數列，求證，，也成等差數列.
判定給定數列是否為等差數列關鍵看是否滿足從第2項開始每項與其前一項差為常數．
證明：（1）n＝1時，a1＝s1＝3－2＝1，
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，
n＝1時，亦滿足，∴an＝6n－5(n∈n*)．
首項a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常數)(n∈n*)，
∴數列成等差數列且a1＝1，公差為6．
（2）∵，，成等差數列，∴＝＋化簡得2ac＝b(a＋c)．
＋＝＝＝＝＝2·，∴，，也成等差數列
18．設是公比為 q 的等比數列，且a1，a3，a2成等差數列．
(1)求q的值；
(2)設是以2為首項，q為公差的等差數列，其前n項和為sn，當n≥2時，比較sn與bn的大小，並說明理由．
（1）由題設2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－．
（2）若q＝1，則sn＝2n＋＝．
當n≥2時，sn－bn＝sn－1＝＞0，故sn＞bn．
若q＝－，則sn＝2n＋(－)＝．
當n≥2時，sn－bn＝sn－1＝，
故對於n∈n+，當2≤n≤9時，sn＞bn；當n＝10時，sn＝bn；當n≥11時，sn＜bn
19．數列的前n項和記為sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n＝1，2，3…)．
求證：數列{}是等比數列．
∵an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn，∴(n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，整理得nsn＋1＝2(n＋1) sn，
所以＝．故{}是以2為公比的等比數列
20．已知數列是首項為a且公比不等於1的等比數列，sn為其前n項和，a1，2a7，3a4成等差數列，求證：12s3，s6，s12－s6成等比數列.
證明：由a1，2a7，3a4成等差數列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3，
變形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，∴q3＝－或q3＝1(舍)．
由＝＝＝；
1＝－1＝1＋q6－1＝；
得＝．∴12s3，s6，s12－s6成等比數列．
方法四、數列通項與前項和的關係
1． 2．
題型一歸納、猜想法求數列通項
【例1】根據下列數列的前幾項，分別寫出它們的乙個通項公式
7，77，777，7777，…
1，3，3，5，5，7，7，9，9…
解析：將數列變形為，
將已知數列變為1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。可得數列的通項公式為
點撥：本例的求解關鍵是通過分析、比較、聯想、歸納、轉換獲得項與項數的一般規律，從而求得通項。
數列的求和,涵蓋所有高中數列求和的方法
數列的求和 一 教學目標 1 熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式 2 能運用倒序相加 錯位相減 拆項相消等重要的數學方法進行求和運算 3 熟記一些常用的數列的和的公式 二 教學重點 特殊數列求和的方法 三 教學過程 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和...
數列的求和,涵蓋所有高中數列求和的方法
數列的求和 一 教學目標 1 熟練掌握等差數列與等比數列的求和公式 2 能運用倒序相加 錯位相減 拆項相消等重要的數學方法進行求和運算 3 熟記一些常用的數列的和的公式 二 教學重點 特殊數列求和的方法。三 教學過程 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和...
涵蓋高中所有的數列求和方法
數列的求和 一 主要知識 1 直接法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和公式 2 等比數列的求和公式 切記 公比含字母時一定要討論 2 公式法 3 錯位相減法 比如 4 裂項相消法 把數列的通項拆成兩項之差 正負相消剩下首尾若干項。常見拆項公式 5 分組求和法 把數列的每一項分...