第一講數學思維的變通性
一、概念
數學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性——善於根據題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。根據數學思維變通性的主要體現，本講將著重進行以下幾個方面的訓練：
（1）善於觀察
心理學告訴我們：感覺和知覺是認識事物的最初級形式，而觀察則是知覺的高階狀態，是一種有目的、有計畫、比較持久的知覺。觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提。
任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關係。要想解決它，就必須依據題目的具體特徵，對題目進行深入的、細緻的、透徹的觀察，然後認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。
例如，求和.
這些分數相加，通分很困難，但每項都是兩相鄰自然數的積的倒數，且，因此，原式等於問題很快就解決了。
（2）善於聯想
聯想是問題轉化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯絡，都是不明顯的、間接的、複雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決於能否由觀察到的特徵，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題開啟缺口，不斷深入。
例如，解方程組.
這個方程指明兩個數的和為，這兩個數的積為。由此聯想到韋達定理，、是一元二次方程的兩個根，
所以或.可見，聯想可使問題變得簡單。
（3）善於將問題進行轉化
數學家g . 波利亞在《怎樣解題》中說過：數學解題是命題的連續變換。
可見，解題過程是通過問題的轉化才能完成的。轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法。那麼怎樣轉化呢？
概括地講，就是把複雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。在解題時，觀察具體特徵，聯想有關問題之後，就要尋求轉化關係。
例如，已知, ,
求證、、三數中必有兩個互為相反數。
恰當的轉化使問題變得熟悉、簡單。要證的結論，可以轉化為：
思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指乙個人用同一種思維方法解決若干問題以後，往往會用同樣的思維方法解決以後的問題。它表現就是記型別、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。
綜上所述，善於觀察、善於聯想、善於進行問題轉化，是數學思維變通性的具體體現。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。
二、思維訓練例項
（1） 觀察能力的訓練
雖然觀察看起來是一種表面現象，但它是認識事物內部規律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規方法解題，而且能根據題目的具體特徵，採用特殊方法來解題。
例1 已知都是實數，求證
思路分析從題目的外表形式觀察到，要證的
結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而
左端可看作是點到原點的距離公式。根據其特點，
可採用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現。
證明不妨設如圖1－2－1所示，
則 在中，由三角形三邊之間的關係知：
當且僅當o在ab上時，等號成立。
因此，思維障礙很多學生看到這個不等式證明題，馬上想到採用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。學生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，平時應多注意數學公式、定理的運用練習。
例2 已知，試求的最大值。
解由得又
當時，有最大值，最大值為
思路分析要求的最大值，由已知條件很快將變為一元二次函式然後求極值點的值，聯絡到，這一條件，既快又準地求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現了思維的變通性。
思維障礙大部分學生的作法如下：
由得當時，取最大值，最大值為
這種解法由於忽略了這一條件，致使計算結果出現錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發現特點，而且還能從已知條件中發現其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，
又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。
有些問題的觀察要從相應的影象著手。
例3 已知二次函式滿足關係
，試比較與的大小。
思路分析由已知條件可知，在與左右等距離的點的函式值相等，說明該函式的影象關於直線對稱，又由
已知條件知它的開口向上，所以，可根據該函式的大致
影象簡捷地解出此題。
解 （如圖1－2－2）由，
知是以直線為對稱軸，開口向上的拋物線
它與距離越近的點，函式值越小。
思維障礙有些同學對比較與的大小，只想到求出它們的值。而此題函式的表示式不確定無法代值，所以無法比較。出現這種情況的原因，是沒有充分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時要全面看問題，對每乙個已知條件都要仔細推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。
提高思維的變通性。
（2） 聯想能力的訓練
例4 在中，若為鈍角，則的值
(a) 等於1 (b)小於1c) 大於1 (d) 不能確定
思路分析此題是在中確定三角函式的值。因此，聯想到三角函式正切的兩角和公式可得下面解法。
解為鈍角，.在中
且故應選擇（b）
思維障礙有的學生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函式的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特徵，因而不能很快聯想到運用基本公式。
例5 若
思路分析此題一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點，不難發現它與一元二次方程的判別式相似。於是，我們聯想到借助一元二次方程的知識來證題。
證明當時，等式
可看作是關於的一元二次方程有等根的條件，在進一步觀察這個方程，它的兩個相等實根是1 ，根據韋達定理就有：
即若，由已知條件易得即,顯然也有.
例6 已知均為正實數,滿足關係式,又為不小於的自然數，求證:
思路分析由條件聯想到勾股定理,可構成直角三角形的三邊，進一步聯想到三角函式的定義可得如下證法。
證明設所對的角分別為、、則是直角，為銳角，於是
且當時，有
於是有即
從而就有
思維阻礙由於這是乙個關於自然數的命題，一些學生都會想到用數學歸納法來證明，難以進行數與形的聯想，原因是平時不注意代數與幾何之間的聯絡，單純學代數，學幾何，因而不能將題目條件的數字或式子特徵與直觀圖形聯想起來。
（3） 問題轉化的訓練
我們所遇見的數學題大都是生疏的、複雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特徵，聯想有關知識，而且要將其轉化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當的轉化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉化的訓練是很必要的。
轉化成容易解決的明顯題目
例11 已知求證、、中至少有乙個等於1。
思路分析結論沒有用數學式子表示，很難直接證明。首先將結論用數學式子表示，轉化成我們熟悉的形式。、、中至少有乙個為1，也就是說中至少有乙個為零，這樣，問題就容易解決了。
證明於是中至少有乙個為零，即、、中至少有乙個為1。
思維障礙很多學生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有乙個為1，其原因是不能把要證的結論「翻譯」成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題。因此，多練習這種「翻譯」，是提高轉化能力的一種有效手段。
例12 直線的方程為，其中；橢圓的中心為，焦點在軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的乙個頂點為，問在什麼範圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點的距離等於該點到直線的距離。
思路分析從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個不同的點應在拋物線
1）是，又從已知條件可得橢圓的方程為
2）因此，問題轉化為當方程組（1）、（2）有四個不同的實數解時，求的取值範圍。將（2）代入（1）得：
3）確定的範圍，實際上就是求（3）有兩個不等正根的充要條件，解不等式組：
在的條件下，得
本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標準問題：解方程組和不等式組的問題。
逆向思維的訓練
逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。
例13 已知函式，求證、、中至少有乙個不小於1.
思路分析反證法被譽為「數學家最精良的**之一」，它也是中學數學常用的解題方法。當要證結論中有「至少」等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮採用反證法。
證明 （反證法）假設原命題不成立，即、、都小於1。
則①＋③得
與②矛盾，所以假設不成立，即、、中至少有乙個不小於1。
一題多解訓練
由於每個學生在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是「一題多解」。通過一題多解訓練，可使學生認真觀察、多方聯想、恰當轉化，提高數學思維的變通性。
例14 已知複數的模為2，求的最大值。
解法一（代數法）設
解法二（三角法）設
則 解法三（幾何法）
如圖1－2－3 所示，可知當時，
解法四（運用模的性質）
而當時，
解法五（運用模的性質）又
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