1、（2006鎮江）在平面直角座標系中，已知二次函式y=a（x-1）2+k的圖象與x軸相交於點a，b，頂點為c，點d在這個二次函式圖象的對稱軸上．若四邊形acbd是乙個邊長為2且有乙個內角為60°的菱形．求此二次函式的表示式．
考點：二次函式綜合題．
專題：綜合題．
分析：根據題意，畫出圖形，可得以下四種情況：
（1）以菱形長對角線兩頂點作為a、b，且拋物線開口向上；
（2）以菱形長對角線兩頂點作為a、b，且拋物線開口向下；
（3）以菱形短對角線兩頂點作為a、b，且拋物線開口向上；
（4）以菱形短對角線兩頂點作為a、b，且拋物線開口向下，
解答時都利用四邊形acbd是乙個邊長為2且有乙個內角為60°的條件根據解直角三角形的相關知識解答．
解答：解：本題共有4種情況．
設二次函式的圖象的對稱軸與x軸相交於點e．
（1）如圖①，
當∠cad=60°時，
因為acbd是菱形，一邊長為2，
所以de=1，be=3，（1分）
所以點b的座標
因為（1+3，0），點c的座標為（1，-1），
解得k=-1，a=13．
所以y=13（x-1）2-1．（2分）
（2）如圖②，當∠acb=60°時，由菱形性質知點a的座標為（0，0），點c的座標為（1，-3）．
解得k=-3，a=3，
所以y=3（x-1）2-3．（4分）
同理可得：y=-13（x-1）2+1，y=-3（x-1）2+3．（8分）
所以符合條件的二次函式的表示式有：y=13（x-1）2-1，y=3（x-1）2-3，
y=-13（x-1）2+1，y=-3（x-1）2+3．
2、如圖，正比例函式y=32x與二次函式y=-x2+2x+c的圖象都經過點a（2，m）．
（1）求這個二次函式的解析式；
（2）求這個二次函式圖象頂點p的座標和對稱軸；
（3）若二次函式圖象的對稱軸與正比例函式的圖象相交於點b，與x軸相交於點c，點q是x軸的正半軸上的一點，如果△obc與△oaq相似，求點q的座標．
考點：二次函式綜合題．
分析：（1）先求得m，再將點a的座標代入二次函式y=-x2+2x+c，即可得出c，
（2）根據二次函式對稱軸和頂點座標的求法即可得出答案；
（3）設q（x，o）（x＞0）．當x=1時求出點b、c的座標，再由△obc∽△oaq和△obc∽△oqa時，分別求得點q的座標即可．
解答：解：（1）∵正比例函式y=32x與二次函式y=-x2+2x+c的圖象都經過點a（2，m）
∴m=32×2，m=3（1分）
∴a（2，3），3=-4+4+c
∴c=3（1分）
∴這個二次函式的解析式是y=-x2+2x+3（1分）
（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4（1分）
∴這個二次函式圖象頂點p的座標是（1，4），對稱軸是x=1；（2分）
（3）設q（x，o）（x＞0）．當x=1時，y=32x=32，
∴b(1，32)，c(1，0)（1分）
當△obc∽△oaq時，有ocoq=bcqa，得oq=2，q（2，0）（2分）
當△obc∽△oqa，有oboq=ocoa，得oq=132，q(132，0)（2分）
∴點q的座標是(2，0)，(132，0)．（1分）
3、已知二次函式y=-x2+（k+1）x-k的圖象經過一次函式y=-x+4的圖象與x軸的交點a．（如圖）
（1）求二次函式的解析式；
（2）求一次函式與二次函式圖象的另乙個交點b的座標；
（3）若二次函式圖象與y軸交於點d，平行於y軸的直線l將四邊形abcd的面積分成1：2的兩部分，則直線l截四邊形abcd所得的線段的長是多少？（直接寫出結果）
考點：二次函式綜合題．
分析：（1）本題需先求出a點的座標，再代入二次函式的解析式即可．
（2）本題需先根據題意列出方程組求出x、y的值即可得出點b的座標．
（3）本題需先根據題意分兩種情況畫出圖形，再分別進行計算即可得出線段ab的長．
解答：解：（1）由y=-x+4，得a（4，0），
又二次函式圖象經過點a，
則0=-16+4（k+1）-k，
解得k=4，
所以二次函式解析式為y=-x2+5x-4．
（2）由{y=-x+4y=-x2+5x-4，
解得{x1=4y1=0，{x2=2y2=2，
所以點b的座標為（2，2）．
（3）令y=0代入二次函式得x=1或x=4，
則c點座標為（1，0）
令x=0代入2此函式得y=-4，則d點座標為（0，-4）
∴四邊形面積為：12×（4-1）×2+12×（4-1）×4=9，
①若直線在點b的左側，
令平行於y軸的直線交bc於e，交ca於f，交ad於g，
求得bc的函式為y=2x-2
則effc=21，
同理求得ad的函式為y=x-4，
∴af=fg，
設cf=a＞0，
則ef=2a，af=3-a，fg=3-a，
∴s△efc+s四邊形fcdg=s△efc+s梯形ofgd-s△ocd=12a2a+12（3-a+4）（a+1）-12×1×4=92，
解得：a=-6±2152＜0（捨去）；
②若直線在點b的左側，
令平行於y軸的直線交ab於e，交ca於f，交ad於g，
求得ab的函式為y=-x+4，
則ef=fa，
同理求得ad的函式為y=x-4，
∴af=fg，
設af=a＞0，
則ef=a，af=a，fg=a，
∴s△efc+s△afg=12aa+12aa=92，
解得：a=322，
∴eg=32．
故線段長為32．
4、如圖，二次函式y=ax2+bx的圖象與一次函式y=x+2的圖象交於a、b兩點，點a的橫座標是-1，點b的橫座標是2．
（1）求二次函式的表示式；
（2）設點c在二次函式圖象的ob段上，求四邊形oabc面積的最大值．
考點：二次函式綜合題．
專題：綜合題．
分析：（1）把x=-1和2分別代入y=x+2，就可以求出a，b的座標，把這兩點的座標代入二次函式的解析式，就可以求出二次函式的解析式．
（2）過點a、b作am⊥x軸，bn⊥x軸，分別交於m、n．過點c作cp⊥bn於p．設p的座標是（x，y）．因而四邊形oabc面積就可以表示成x的函式，根據函式的性質，就可以求出四邊形oabc面積的最大值．
解答：解：（1）把x=-1和2分別代入y=x+2，得到y的值分別是1、4，因而a、b的座標分別是（-1，1），（2，4）．
根據題意得到：{a+b=14a-2b=4
解得{a=1b=0
因而二次函式的解析式是y=x2．
（2）過點a、b作am⊥x軸，bn⊥x軸，分別交於m、n．過點c作cp⊥bn於p．
設p的座標是（x，y）．
梯形amnb的面積=12（am+bn）mn=12（1+4）×3=152；
△aom的面積=12amom=12；
△bcp的面積=12cpbp=12（2-x）（4-y）=12（2-x）（4-x2）；
四邊形cpno的面積是12（cp+on）pn=12[（2-x）+2]y=12（4-x）x2．
當x=1時，函式s=-x2+2x+3有最大值是4．
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