相似三角形
1．如圖，在△abc中，de∥bc，ef∥ab，求證：△ade∽△efc．
2．如圖，梯形abcd中，ab∥cd，點f在bc上，連df與ab的延長線交於點g．
（1）求證：△cdf∽△bgf；
（2）當點f是bc的中點時，過f作ef∥cd交ad於點e，若ab=6cm，ef=4cm，求cd的長．
3．如圖，點d，e在bc上，且fd∥ab，fe∥ac．
求證：△abc∽△fde．
4．如圖，已知e是矩形abcd的邊cd上一點，bf⊥ae於f，試說明：△abf∽△ead．
5．已知：如圖①所示，在△abc和△ade中，ab=ac，ad=ae，∠bac=∠dae，且點b，a，d在一條直線上，連線be，cd，m，n分別為be，cd的中點．
（1）求證：①be=cd；②△amn是等腰三角形；
（2）在圖①的基礎上，將△ade繞點a按順時針方向旋轉180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；
（3）在（2）的條件下，請你在圖②中延長ed交線段bc於點p．求證：△pbd∽△amn．
6．如圖，e是abcd的邊ba延長線上一點，連線ec，交ad於點f．在不新增輔助線的情況下，請你寫出圖中所有的相似三角形，並任選一對相似三角形給予證明．
7．如圖，在4×3的正方形方格中，△abc和△def的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：∠abcbc
（2）判斷△abc與△dec是否相似，並證明你的結論．
8．如圖，已知矩形abcd的邊長ab=3cm，bc=6cm．某一時刻，動點m從a點出發沿ab方向以1cm/s的速度向b點勻速運動；同時，動點n從d點出發沿da方向以2cm/s的速度向a點勻速運動，問：
（1）經過多少時間，△amn的面積等於矩形abcd面積的？
（2）是否存在時刻t，使以a，m，n為頂點的三角形與△acd相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
9．如圖，在梯形abcd中，若ab∥dc，ad=bc，對角線bd、ac把梯形分成了四個小三角形．（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，並求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請你任選一組相似三角形，並給出證明．
10．如圖△abc中，d為ac上一點，cd=2da，∠bac=45°，∠bdc=60°，ce⊥bd於e，連線ae．（1）寫出圖中所有相等的線段，並加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求△bec與△bea的面積之比．
11．如圖，在△abc中，ab=ac=a，m為底邊bc上的任意一點，過點m分別作ab、ac的平行線交ac於p，交ab於q．
（1）求四邊形aqmp的周長；
（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
（3）m位於bc的什麼位置時，四邊形aqmp為菱形並證明你的結論．
12．已知：p是正方形abcd的邊bc上的點，且bp=**c，m是cd的中點，試說明：△adm∽△mcp．
13．如圖，已知梯形abcd中，ad∥bc，ad=2，ab=bc=8，cd=10．
（1）求梯形abcd的面積s；
（2）動點p從點b出發，以1cm/s的速度，沿badc方向，向點c運動；動點q從點c出發，以1cm/s的速度，沿cda方向，向點a運動，過點q作qe⊥bc於點e．若p、q兩點同時出發，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結束，設運動時間為t秒．問：
①當點p在ba上運動時，是否存在這樣的t，使得直線pq將梯形abcd的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
②在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以p、a、d為頂點的三角形與△cqe相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；
③在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以p、d、q為頂點的三角形恰好是以dq為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．
14．已知矩形abcd，長bc=12cm，寬ab=8cm，p、q分別是ab、bc上運動的兩點．若p自點a出發，以1cm/s的速度沿ab方向運動，同時，q自點b出發以2cm/s的速度沿bc方向運動，問經過幾秒，以p、b、q為頂點的三角形與△bdc相似？
15．如圖，在△abc中，ab=10cm，bc=20cm，點p從點a開始沿ab邊向b點以2cm/s的速度移動，點q從點b開始沿bc邊向點c以4cm/s的速度移動，如果p、q分別從a、b同時出發，問經過幾秒鐘，△pbq與△abc相似．
16．如圖，∠acb=∠adc=90°，ac=，ad=2．問當ab的長為多少時，這兩個直角三角形相似．
17．已知，如圖，在邊長為a的正方形abcd中，m是ad的中點，能否在邊ab上找一點n（不含a、b），使得△cdm與△man相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．
18．如圖在△abc中，∠c=90°，bc=8cm，ac=6cm，點q從b出發，沿bc方向以2cm/s的速度移動，點p從c出發，沿ca方向以1cm/s的速度移動．若q、p分別同時從b、c出發，試**經過多少秒後，以點c、p、q為頂點的三角形與△cba相似？
19．如圖所示，梯形abcd中，ad∥bc，∠a=90°，ab=7，ad=2，bc=3，試在腰ab上確定點p的位置，使得以p，a，d為頂點的三角形與以p，b，c為頂點的三角形相似．
20．△abc和△def是兩個等腰直角三角形，∠a=∠d=90°，△def的頂點e位於邊bc的中點上．
（1）如圖1，設de與ab交於點m，ef與ac交於點n，求證：△bem∽△**e；
（2）如圖2，將△def繞點e旋轉，使得de與ba的延長線交於點m，ef與ac交於點n，於是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形並證明你的結論．
21．如圖，在矩形abcd中，ab=15cm，bc=10cm，點p沿ab邊從點a開始向b以2cm/s的速度移動；點q沿da邊從點d開始向點a以1cm/s的速度移動．如果p、q同時出發，用t（秒）表示移動的時間，那麼當t為何值時，以點q、a、p為頂點的三角形與△abc相似．
22．如圖，路燈（p點）距地面8公尺，身高1.6公尺的小明從距路燈的底部（o點）20公尺的a點，沿oa所在的直線行走14公尺到b點時，身影的長度是變長了還是變短了？變長或變短了多少公尺？
23．陽光明媚的一天，數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺，標桿，一副三角尺，小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設計一種測量方案．
（1）所需的測量工具是2）請在下圖中畫出測量示意圖；
（3）設樹高ab的長度為x，請用所測資料（用小寫字母表示）求出x．
24．問題背景在某次活動課中，甲、乙、丙三個學習小組於同一時刻在陽光下對校園中一些物體進行了測量．下面是他們通過測量得到的一些資訊：
甲組：如圖1，測得一根直立於平地，長為80cm的竹竿的影長為60cm．
乙組：如圖2，測得學校旗桿的影長為900cm．
丙組：如圖3，測得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．任務要求：
（1）請根據甲、乙兩組得到的資訊計算出學校旗桿的高度；
（2）如圖3，設太陽光線nh與⊙o相切於點m．請根據甲、丙兩組得到的資訊，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長等於線段ng的影長；需要時可採用等式1562+2082=2602）
25．陽光通過視窗照射到室內，在地面上留下2.7m寬的亮區（如圖所示），已知亮區到視窗下的牆腳距離ec=8.7m，視窗高ab=1.8m，求視窗底邊離地面的高bc．
26．如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高ab=h，燈柱的高op=o′p′=l，兩燈柱之間的距離oo′=m．
（1）若李華距燈柱op的水平距離oa=a，求他影子ac的長；
（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前後的兩個影子的長度之和（da+ac）是否是定值請說明理由；
（3）若李華在點a朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動的速度v2．
27．如圖①，分別以直角三角形abc三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用s1，s2，s3表示，則不難證明s1=s2+s3．
（1）如圖②，分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用s1，s2，s3表示，那麼s1，s2，s3之間有什麼關係；（不必證明）
（2）如圖③，分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用s1、s2、s3表示，請你確定s1，s2，s3之間的關係並加以證明；
（3）若分別以直角三角形abc三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用s1，s2，s3表示，為使s1，s2，s3之間仍具有與（2）相同的關係，所作三角形應滿足什麼條件證明你的結論；
（4）模擬（1），（2），（3）的結論，請你總結出乙個更具一般意義的結論．
28．已知：如圖，△abc∽△ade，ab=15，ac=9，bd=5．求ae．
29．已知：如圖rt△abc∽rt△bdc，若ab=3，ac=4．
（1）求bd、cd的長；
（2）過b作be⊥dc於e，求be的長．
30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；
（2）已知：兩相似三角形對應高的比為3：10，且這兩個三角形的周長差為560cm，求它們的周長．
參***與試題解析
1．如圖，在△abc中，de∥bc，ef∥ab，求證：△ade∽△efc．
2．如圖，梯形abcd中，ab∥cd，點f在bc上，連df與ab的延長線交於點g．
（1）求證：△cdf∽△bgf；
（2）當點f是bc的中點時，過f作ef∥cd交ad於點e，若ab=6cm，ef=4cm，求cd的長．
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解三角形練習題 附答案
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