集合與簡易邏輯
一、基礎知識
定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的物件的全體構成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個物件稱為元素，用小寫字母來表示，元素在集合a中，稱屬於a，記為，否則稱不屬於a，記作。例如，通常用n，z，q，b，q+分別表示自然數集、整數集、有理數集、實數集、正有理數集，不含任何元素的集合稱為空集，用來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一枚舉出來寫在大括號內並用逗號隔開表示集合的方法，如；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內表示集合的方法。
例如，分別表示有理數集和正實數集。
定義2 子集：對於兩個集合a與b，如果集合a中的任何乙個元素都是集合b中的元素，則a叫做b的子集，記為，例如。規定空集是任何集合的子集，如果a是b的子集，b也是a的子集，則稱a與b相等。
如果a是b的子集，而且b中存在元素不屬於a，則a叫b的真子集。
定義3 交集，
定義4 並集，
定義5 補集，若稱為a在i中的補集。
定義6 差集，。
定義7 集合記作開區間，集合
記作閉區間，r記作
定理1 集合的性質：對任意集合a，b，c，有：
（1） （2）；
（34）
【證明】這裡僅證（1）、（3），其餘由讀者自己完成。
（1）若，則，且或，所以或，即；反之，，則或，即且或，即且，即
（3）若，則或，所以或，所以，又，所以，即，反之也有
定理2 加法原理：做一件事有類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，…，第類辦法中有種不同的方法，那麼完成這件事一共有種不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分個步驟，第一步有種不同的方法，第二步有種不同的方法，…，第步有種不同的方法，那麼完成這件事一共有種不同的方法。
二、方法與例題
1．利用集合中元素的屬性，檢驗元素是否屬於集合。
例1 設，求證：
（1）；
（2）；
（3）若，則
[證明]（1）因為，且，所以
（2）假設，則存在，使，由於和有相同的奇偶性，所以是奇數或4的倍數，不可能等於，假設不成立，所以
（3）設，則
（因為）。
2．利用子集的定義證明集合相等，先證，再證，則a=b。
例2 設a，b是兩個集合，又設集合m滿足
，求集合m（用a，b表示）。
【解】先證，若，因為，所以，所以；
再證，若，則1）若，則；2）若，則。所以
綜上，3．分類討論思想的應用。
例3 ，若，求
【解】依題設，，再由解得或，
因為，所以，所以，所以或2，所以或3。
因為，所以，若，則，即，若，則或，解得
綜上所述，或；或。
4．計數原理的應用。
例4 集合a，b，c是i=的子集，（1）若，求有序集合對（a，b）的個數；（2）求i的非空真子集的個數。
【解】（1）集合i可劃分為三個不相交的子集；a\b，b\a，中的每個元素恰屬於其中乙個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定乙個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。
（2）i的子集分三類：空集，非空真子集，集合i本身，確定乙個子集分十步，第一步，1或者屬於該子集或者不屬於，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由乘法原理，子集共有個，非空真子集有1022個。
5．配對方法。
例5 給定集合的個子集：，滿足任何兩個子集的交集非空，並且再新增i的任何乙個其他子集後將不再具有該性質，求的值。
【解】將i的子集作如下配對：每個子集和它的補集為一對，共得對，每一對不能同在這個子集中，因此，；其次，每一對中必有乙個在這個子集**現，否則，若有一對子集未出現，設為c1a與a，並設，則，從而可以在個子集中再新增，與已知矛盾，所以。綜上，。
6．競賽常用方法與例題。
定理4 容斥原理: 用表示集合a的元素個數，則
，此結論可以推廣到個集合的情況，即
定義8 集合的劃分：若，且，則這些子集的全集叫i的乙個-劃分。
定理5 最小數原理：自然數集的任何非空子集必有最小數。
定理6 抽屜原理：將個元素放入個抽屜，必有乙個抽屜放有不少於個元素，也必有乙個抽屜放有不多於個元素；將無窮多個元素放入個抽屜必有乙個抽屜放有無窮多個元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數的個數。
【解】 記，
，由容斥原理，
，所以不能被2，3，5整除的數有個。
例7 s是集合的子集，s中的任意兩個數的差不等於4或7，問s中最多含有多少個元素？
【解】將任意連續的11個整數排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數至多有乙個屬於s，將這11個數按連續兩個為一組，分成6組，其中一組只有乙個數，若s含有這11個數中至少6個，則必有兩個數在同一組，與已知矛盾，所以s至多含有其中5個數。又因為2004=182×11+2，所以s一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當時，恰有，且s滿足題目條件，所以最少含有912個元素。
例8 求所有自然數，使得存在實數滿足：
【解】 當時，；當時，；當時， 。下證當時，不存在滿足條件。
令，則所以必存在某兩個下標，使得，所以或，即，所以或，。
（ⅰ）若，考慮，有或，即，設，則，導致矛盾，故只有
考慮，有或，即，設，則，推出矛盾，設，則，又推出矛盾， 所以故當時，不存在滿足條件的實數。
（ⅱ）若，考慮，有或，即，這時，推出矛盾，故。考慮，有或，即=3，於是，矛盾。因此，所以，這又矛盾，所以只有，所以。故當時，不存在滿足條件的實數。
例9 設a=，b=，在a中取三個數，b中取兩個數組成五個元素的集合，求的最小值。
【解】設b中每個數在所有中最多重複出現次，則必有。若不然，數出現次（），則在出現的所有中，至少有乙個a中的數出現3次，不妨設它是1，就有集合，其中，為滿足題意的集合。必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數，這不可能，所以
20個中，b中的數有40個，因此至少是10個不同的，所以。當時，如下20個集合滿足要求：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， 。
例10 集合可以劃分成個互不相交的三元集合，其中，求滿足條件的最小正整數
【解】 設其中第個三元集為則1+2+…+
所以。當為偶數時，有，所以，當為奇數時，有，所以，當時，集合，，，，滿足條件，所以的最小值為5。
三、基礎訓練題
1．給定三元集合，則實數的取值範圍是
2．若集合中只有乙個元素，則
3．集合的非空真子集有個。
4．已知集合，若，則由滿足條件的實數組成的集合p
5．已知，且，則常數的取值範圍是
6．若非空集合s滿足，且若，則，那麼符合要求的集合s有個。
7．集合之間的關係是
8．若集合，其中，且，若，則a中元素之和是
9．集合，且，則滿足條件的值構成的集合為
10．集合，則
11．已知s是由實數構成的集合，且滿足1））若，則。如果，s中至少含有多少個元素？說明理由。
12．已知，又c為單元素集合，求實數的取值範圍。
四、高考水平訓練題
1．已知集合，且a=b，則
2．，則
3．已知集合，當時，實數的取值範圍是
4．若實數為常數，且
5．集合，若，則
6．集合，則中的最小元素是
7．集合，且a=b，則
8．已知集合，且，則的取值範圍是
9．設集合
，問：是否存在，使得，並證明你的結論。
10．集合a和b各含有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合c的個數：
1）且c中含有3個元素； 2）。
11．判斷以下命題是否正確：設a，b是平面上兩個點集，，若對任何，都有，則必有，證明你的結論。
五、聯賽一試水平訓練題
1．已知集合，則實數的取值範圍是
2．集合的子集b滿足：對任意的，則集合b中元素個數的最大值是
3．已知集合，其中，且，若p=q，則實數
4．已知集合，若是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則
5．集合，集合，則集合m與n的關係是
6．設集合，集合a滿足：，且當時，，則a中元素最多有個。
7．非空集合，≤則使成立的所有的集合是
8．已知集合a，b，ac（不必相異）的並集, 則滿足條件的有序三元組（a，b，c）個數是
9．已知集合，問：當取何值時，為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結論如何？
10．求集合b和c，使得，並且c的元素乘積等於b的元素和。
11．s是q的子集且滿足：若，則恰有乙個成立，並且若，則，試確定集合s。
12．集合s=的若干個五元子集滿足：s中的任何兩個元素至多出現在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？
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