錯解剖析得真知（一）
第一章集合與常用邏輯用語
§1.1 集合的概念與運算
一、知識導學
1.集合：一般地，一定範圍內某些確定的、不同的物件的全體構成乙個集合.
2.元素：集合中的每乙個物件稱為該集合的元素，簡稱元.
3.子集：如果集合a的任意乙個元素都是集合b的元素（若則），則稱
集合a為集合b的子集，記為ab或ba；如果ab，並且ab，這時集合a稱為集合b的真子集，記為ab或ba.
4.集合的相等：如果集合a、b同時滿足ab、ba，則a=b.
5.補集：設as，由s中不屬於a的所有元素組成的集合稱為s的子集a的補集，記
為 .6.全集：如果集合s包含所要研究的各個集合，這時s可以看做乙個全集，全集通常
記作u.
7.交集：一般地，由所有屬於集合a且屬於b的元素構成的集合，稱為a與b的交集，
記作ab.
8.並集：一般地，由所有屬於集合a或者屬於b的元素構成的集合，稱為a與b的並
集，記作ab.
9.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.
10.有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集.
11.無限集：含有無限個元素的集合稱為無限集.
12.集合的常用表示方法：列舉法、描述法、圖示法（venn圖）.
13.常用數集的記法：自然數集記作n，正整數集記作n+或n，整數集記作z，有理數集記作q，實數集記作r.
二、疑難知識導析
1.符號，，，，=，表示集合與集合之間的關係，其中「」包括「」和「=」兩種情況，同樣「」包括「」和「=」兩種情況.符號，表示元素與集合之間的關係.要注意兩類不同符號的區別.
2.在判斷給定物件能否構成集合時，特別要注意它的「確定性」，在表示乙個集合時，要特別注意它的「互異性」、「無序性」.
3.在集合運算中必須注意組成集合的元素應具備的性質.
4.對由條件給出的集合要明白它所表示的意義，即元素指什麼，是什麼範圍．用集合表示不等式（組）的解集時，要注意分辨是交集還是並集，結合數軸或文氏圖的直觀性幫助思維判斷．空集是任何集合的子集，但因為不好用文氏圖形表示，容易被忽視，如在關係式中，b=易漏掉的情況.
5.若集合中的元素是用座標形式表示的，要注意滿足條件的點構成的圖形是什麼，用數形結合法解之.
6.若集合中含有引數，須對引數進行分類討論，討論時既不重複又不遺漏.
7.在集合運算過程中要借助數軸、直角座標平面、venn圖等將有關集合直觀地表示出來.
8.要注意集合與方程、函式、不等式、三角、幾何等知識的密切聯絡與綜合使用.
9.含有n個元素的集合的所有子集個數為：，所有真子集個數為：-1
三、經典例題導講
[例1] 已知集合m=,n=，則m∩n=（ ）
a．（0，1），（1，2） b．
c． d．
錯解：求m∩n及解方程組得或 ∴選b
錯因：在集合概念的理解上，僅注意了構成集合元素的共同屬性，而忽視了集合的元素是什麼．事實上m、n的元素是數而不是實數對(x,y)，因此m、n是數集而不是點集,
m、n分別表示函式y=x2＋1(x∈r)，y=x＋1(x∈r)的值域，求m∩n即求兩函式值域的交集．
正解：m==， n==．
∴m∩n=∩=, ∴應選d．
注：集合是由元素構成的，認識集合要從認識元素開始，要注意區分、、，這三個集合是不同的．
[例2] 已知a=,b=且a∪b=a，求實數a組成的集合c．
錯解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．
當x=1時，a=2， 當x=2時，a=1．
錯因：上述解答只注意了b為非空集合，實際上，b=時，仍滿足a∪b=a.
當a=0時，b=，符合題設，應補上，故正確答案為c=．
正解：∵a∪b=a ∴ba 又a==
∴b=或 ∴c=
[例3]已知ma,nb, 且集合a=，b=，又c=，則有： （ ）
a．m+na b. m+nb d. m+n不屬於a，b，c中任意乙個
錯解：∵ma，∴m=2a,a,同理n=2a+1,az, ∴m+n=4a+1,故選c
錯因是上述解法縮小了m+n的取值範圍.
正解：∵ma, ∴設m=2a1,a1z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 z , ∴m+nb, 故選b.
[例4］ 已知集合a=，集合b=．若ba，求實數p的取值範圍．
錯解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．
欲使ba，只須
∴ p的取值範圍是－3≤p≤3.
錯因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"這一結論，即b=時，符合題設．
正解：①當b≠時，即p＋1≤2p－1p≥2.
由ba得：－2≤p＋1且2p－1≤5.
由－3≤p≤3.
∴ 2≤p≤3
②當b=時，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②得：p≤3.
點評：從以上解答應看到：解決有關a∩b=、a∪b=，ab等集合問題易忽視空集的情況而出現漏解，這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題．
[例5] 已知集合a=，b=．若a=b，求c的值．
分析：要解決c的求值問題，關鍵是要有方程的數學思想，此題應根據相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性，無序性建立關係式．
解：分兩種情況進行討論．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0時，集合b中的三元素均為零，和元素的互異性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1時，b中的三元素又相同，此時無解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，
即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．
點評：解決集合相等的問題易產生與互異性相矛盾的增解，這需要解題後進行檢驗.
[例6] 設a是實數集，滿足若a∈a，則a，且1?a.
⑴若2∈a，則a中至少還有幾個元素？求出這幾個元素.
⑵a能否為單元素集合？請說明理由.
⑶若a∈a，證明：1－∈a.
⑷求證：集合a中至少含有三個不同的元素.
解：⑴2∈a ? －1∈a ? ∈a ? 2∈a
∴ a中至少還有兩個元素：－1和
⑵如果a為單元素集合，則a＝
即＝0該方程無實數解，故在實數範圍內，a不可能是單元素集
⑶a∈a ? ∈a ? ∈a?a，即1－∈a
⑷由⑶知a∈a時，∈a， 1－∈a .現在證明a,1－, 三數互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程無解，∴a≠
②若a=1－，即a2-a+1=0，方程無解∴a≠1－
③若1－ =，即a2-a+1=0，方程無解∴1－≠.
綜上所述，集合a中至少有三個不同的元素.
點評：⑷的證明中要說明三個數互不相等，否則證明欠嚴謹.
[例7] 設集合a=，集合b=，試證：ab．
證明：任設∈a，
則==(＋2)2－4(＋2)＋5 (∈n+),
∵ n∈n*，∴ n＋2∈n*
∴ a∈b故 ①
顯然，1，而由
b==知1∈b，於是a≠b ②
由①、② 得ab．
點評：（1）判定集合間的關係，其基本方法是歸結為判定元素與集合之間關係．
（2）判定兩集合相等，主要是根據集合相等的定義．
四、典型習題導練
1．集合a=，b=，則a∩b的非空真子集的個數為（ ）
a．16 b．14 c．15d．32
2．數集中的x不能取的數值的集合是（ ）
a．b． c．d．
3. 若p=，q=，則p∩q等於（ ）
a．p b．q c． d．不知道
4. 若p=，q=，則必有（ ）
a．p∩q= b．p q c．p=q d．p q
5．若集合m＝｛｝，n＝，則mn＝ （ ）
a． b．
c． d．
6.已知集合a=，若a∩r＋=，則實數m的取值範圍是
7.（06高考全國ii卷）設，函式若的解集為a，，求實數的取值範圍.
8.已知集合a=和b=滿足
a∩b=，a∩b=，i=r，求實數a,b的值.
§1.2．常用邏輯用語
一、知識導學
1．邏輯聯結詞：「且」、「或」、 「非」分別用符號「」「」「」表示.
2．命題：能夠判斷真假的陳述句．
3．簡單命題：不含邏輯聯結詞的命題
4．復合命題：由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題，復合命題的基本形式：p或q；p且q；非p
5．四種命題的構成：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p 則q ；逆否命題：若q 則p.
6．原命題與逆否命題同真同假，是等價命題，即「若p則q」「若q 則p 」 .
7．反證法：欲證「若p則q」，從「非q」出發，匯出矛盾，從而知「若p則非q」為假，即「若p則q」為真 .
8．充分條件與必要條件：
①pq ：p是q的充分條件；q是p的必要條件；
②pq ：p是q的充要條件 .
9．常用的全稱量詞：「對所有的」、「 對任意乙個」「 對一切」「 對每乙個」「任給」等；並用符號「」 表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱命題.
高中數學必修一集合知識點梳理
高中數學必修1知識點 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 把某些特定的物件集在一起就叫做集合.2 常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.3 集合與元素間的關係 物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.4 集合的表示法 自然語言法 用文字敘述的...
高中數學必修一集合知識點總結大全
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