s01-0104-02教案集合單元小結（二）
教學目標：歸納集合子、交、並、補的基本題型，能解決一些綜合問題
教學重點：歸納基本題型
教學難點：運用所學理論解決綜合問題
課型：複習課
教學手段：多**、實物投影儀
教學過程：
一、 創設情境
集合是數學是的乙個重要概念，它不僅跟高中數學的絕大部分內容都有聯絡，更在於集合思想當今已經滲透到自然科學的各個領域．因此讓學生掌握集合知識不僅是數學教學本身的需要，同時也成了提高學生素質的一部分.由於集合這一節教材概念較抽象，出現的符號術語比較多，致使部分學生一時難以適應，解題中常常出現因不能理解題意而造成的錯誤，為了使學生能順利地學好這一節內容，教學中應當注意：
①正確進行集合中符號語言的轉譯，熟練運用集合與集合的關係解題；
②借助數軸和文氏圖等圖形思考有利於集合運算；
③不要忘掉空集的特殊性，空集是任何集合的子集；
④集合中元素的確定性、互異性、無序性是解題的依據，注意解題後的檢驗；
⑤對於含字母的題目，要充分注意字母的取值範圍，必要時進行分類討論；
集合作為數學中很重要的基礎內容，是會考和高考的必考內容.試題一般有兩種型別：第一種是集合知識本身；第二種是集合語言與其它數學知識的綜合運用.
高一數學的目的是以完成第一種型別為主的，鑑於高一學生數學知識的侷限並不宜過多補充，應對學生正確使用集合語言，規範書寫格式等方面嚴格要求.這樣做對以後運用集合思想解第二型別的習題是有益的.
從近幾年的考題看，通常用列舉法或描述法給出集合後考查空集與全集的概念；元素與集合、集合與集合之間的關係；集合的交、並、補運算，集合的運算是重點考查內容．在解集合問題時，常將集合化簡或轉化為熟知的代數、三角、幾何問題，同時涉及到數形結合、方程與不等式、化歸等數學思想的應用，集合作為數學問題解決的工具．另外定義新運算是乙個新的命題背景．
二、師生**
考點題型1 集合與元素的關係判定
由集合中元素的確定性知，對於乙個集合，它的元素必須是確定的，特別是對於描述法表示的集合，一定要抓住集合的公共屬性和本質特徵，靈活應用．
例1（２００４鎮江統測）已知集合則必有 ( )
[試題解析] 在集合ａ中，則在中有，選ｂ
[規律說明] 此類問題主要有兩類，一是元素和集合之間的關係；二是集合與集合之間的關係．關鍵在於確定集合的元素，並真正認識集合中元素的屬性．然後依據集合的有關概念，特別是集合中元素的三要素。對於用描述法給出的集合，要緊緊抓住豎線前面的代表元素以及它所具有的性質p；重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題。
[變式延伸] （２００４南通二模）設集合
則（ ）
a． b． c． d．
[詳解]集合ｐ表示所有的奇數，ｑ表示所有的偶數
則是奇數，則是偶數
∴是奇數，是偶數
則，，選ａ
考點題型2 集合之間的包含關係和交、並、補運算
若對於任意的，總有，則；若且，則；
若存在乙個元素，得，則．
這是證明或判斷乙個集合，特別是無限集合，包含與相等關係的一般性方法。
例２（２００４南京９月調研）已知集合，集合，則=（ ）
ac． d．
[試題解析] 集合＝，
集合則＝，選ｃ
[規律說明] 集合之間的運算一般都採用數形結合解決，不等式的運算多用數軸進行．但在運算過程中要注意元素的屬性．本例集合中的元素必須保證，否則容易誤選ｂ．
[變式延伸] １．設關於的方程，的解集分別為a，b，若，，求的值。
[詳解]由得－３是方程和方程的公共解
即， 解得，
∴又，，則∴則
由，聯列得
答案：[變式延伸] ２．設，，已知，則實數 。
[詳解]由得，或，解得
當時，，，與矛盾
當時，，，中元素重複，矛盾
當時，，，滿足題設
答案：考點題型３ 集合之間的包含關係和交、並、補運算
例３（２００４南京二模）已知全集u=，集合a=，集合b=，則（）∩b=（ ）
a． b． c． d．
[試題解析]由a=得
∴（）∩b=，選ｂ
[規律說明] 文氏圖對處理集合與集合的關係，單元素與集合的關係等有直觀的啟示，應給與重視。對於全集中各區域的關係應熟記．
[變式延伸]１．設集合a、b是全集的子集，已知，，，求
[詳解]本題涉及交集、並集、補集等概念，關係較複雜，可借助圖形考慮．如圖，用方框表示全集u，子集a、b的關係表示如下：
由，a、b公共部分應填3；
由，在a之外b內應填1；
由，在a與b之外應填2；
則在a內b外應填4；
因此在a與b的並集之外應是2，即得
本題亦可直接運用關係，得解
[變式延伸]２．設集合，，若ａｂ，則a的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
[詳解]在數軸上分別表示集合ａ，ｂ，若ａｂ，則，即選ｂ
考點題型4 集合運算與方程的解
以集合形式出現的方程問題。此類問題主要分兩類：(1)不含引數的一般可直接求解；(2)含引數問題，往往是等價轉換集合的表示或化簡集合，然後依據方程理論進行分類解決．
例４(2023年武漢市聯考)設， b
（１）若，求的值；
（２）若，求的值．
[試題解析] 化簡集合a，得a＝
（１）由，則有，可知集合b或為，或為，，．
①若b＝，由，解得
②若，代入得，則，或
當時，＝＝a，合題意；
當時，＝a，也合題意．
③若，代入得，解得，或
當時，②中已討論，合題意；
當時，＝，不合題意．
由①、②、③得，或．
(2)因為，所以，又a＝，而b至多只有兩個根，因此應有a＝ｂ
由(1)知，．
[規律說明] 明確和的含義，根據問題的需要，將和，轉化為等價的關係式和是解決本題的關鍵．同時，在包含關係式中，不要漏掉的情況．
[變式延伸]１．如果方程的解集為a，的解集為b，利用a，b表示：
（１）（）（的解集；（２）（）（的解集．
[詳解]首先必須對問題的實質有乙個清楚的認識，當方程，或方程
有乙個成立時，方程（）（就成立，所以(1)的解集是a與ｂ的並集．
當與都不成立時，才能使（）（成立，所以(2)的解集是a，b兩集合補集的交集．＝＝
[變式延伸]２．設，若，求實數的取值範圍。
[詳解]本題等價於二次方程無正實根，再分成有根和無根討論
由，得，或，且
①當時，，解得
②當時，方程有兩個根非正根
則，解得
綜合①②得
[變式延伸]３．設，，，是否存在，使得(a∪b)∩c=，證明此結論.
[詳解] ∵(a∪b)∩c=，∴a∩c=且b∩c=
∵ ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵a∩c=
∴δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2－16>0,即b2>1 ①
∵∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵b∩c=，
∴δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,從而8b<20，即b<2.5
由①②及b∈n,得b=2代入由δ1<0和δ2<0組成的不等式組，得
∴k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(a∪b)∩c=.
考點題型5 含有n個元素的集合的子集的個數
含有n個元素的集合的子集的共有個；真子集共有個：非空真子集共有個．用這一結論，可以判斷一類集合的個數．這一點也可以通過具體的例子驗證．
例5．已知m = ，集合am，集合a中的任一元素a滿足條件：若a∈a，則6 – a∈a，試寫出所有滿足條件的集合a.
[詳解] 依題意集合a中的元素個數可以是1，2，3，4，5，
若a中只有乙個元素，則a = ；
若a中有兩個元素，則a = 或；
若a中有三個元素，則a = 或；
若a中有四個元素，則a = ；
若a中有五個元素，則a = .
[變式延伸]下列命題中正確命題的個數是（ ）
①a∪b = b∪ca = c；②a∪b = ba∩b= a；③α∈bα∈b∩a；④aba∪b = b；⑤α∈aα∈a∪b.
a．2個b．3個 c．4個d．5個
[詳解]由a∪b = b可知ab，∴a∩b= a；
由ab可得出a∪b = b；
由α∈a可得出α∈a∪b但不能得出α∈b∩a；
而a∪b = b∪c可能是a∩c =，如b = r，a = z，b = u z，滿足a∪b = b∪c，但不能得到a = c.
正確的是②④⑤，選b.
考點題型6 集合中的圖形應用問題
集合中的交、並、補等運算，可以借助圖形進行思考。圖形不僅可以使各集合之間的相互關係直觀明了，同時也便於將各元素的歸屬確定下來，使抽象的集合運算能建立在直觀的形象思維基礎上.因此圖形既是迅速理解題意的工具，又是正確解題的手段.
例6 某地對農戶抽樣調查，結果如下：電冰箱擁有率為49％，電視機擁有率為85％，洗衣機擁有率為44％，至少擁有上述三種電器中兩種以上的佔63％，三種電器齊全的為25％，那麼一種電器也沒有的相對貧困戶所佔比例為( )．
ａ．10％ ｂ．12％ c．15％ ｄ． 27％
[試題解析]這是乙個小型應用題．把各種人群看做集合，本題就是已知全集元素個數，求其某個子集的元素個數，可借助文氏**法．
解：不妨設調查了100戶農戶，
u＝，a＝，ｂ＝，c＝，由圖知，的元素個數為49+85+44—63—25＝90．
則的元素個數為100—90二10．
答案：ａ
[規律說明] 一般此類題利用文氏圖直觀手段，使集合中元素的個數，以及集合間的關係更直接的顯示，進而根據圖逐一把文字陳述的語句「翻譯」為數學符號語言，通過解方程和限制條件的運用解決問題。
高一集合2
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