極限數列極限的定義
一般地，如果當項數無限增大時，無窮數列的項無限地趨近於某個常數(即無限地接近於0)，那麼就說數列以為極限.
注:不一定是中的項.
幾個常用的極限
(1) (為常數)；(2)；(3) ().
兩個重要極限
(12)
數列極限的四則運算法則
設數列｛an｝、｛bn｝，當,時，；； ().
求極限的各種方法
1．約去零因子求極限
例1：求極限
【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去。
【解】2．分子分母同除求極限
例2：求極限
【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。
【解】【注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；
(2)3．分子(母)有理化求極限
例3：求極限
【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。
【解】例4：求極限
【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵
4．應用兩個重要極限求極限
兩個重要極限是和，第乙個重要極限過於簡單且可通過等價無窮小來實現。主要考第二個重要極限。
例5：求極限
【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最後湊指數部分。
【解】例6：(1)；(2)已知，求。
5．用等價無窮小量代換求極限
【說明】
(1)常見等價無窮小有：
當時, ,
；(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；
(3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。
例7：求極限
【解】 .
例8：求極限
【解】6．用羅必塔法則求極限
例9：求極限
【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求。
【解】【注】許多變動上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解
例10：設函式f(x)連續，且，求極限
【解】 由於,於是
==7．用對數恒等式求極限
例11：極限
【解】 ==
【注】對於型未定式的極限，也可用公式=因為
例12：求極限.
【解1】 原式
【解2】 原式
8．利用taylor公式求極限
例13 求極限.
【解】 ,
;.例14 求極限.
【解】.9．數列極限轉化成函式極限求解
例15：極限
【說明】這是形式的的數列極限，由於數列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉化成函式極限，可通過7提供的方法結合羅必塔法則求解。
【解】考慮輔助極限
所以，10．n項和數列極限問題
n項和數列極限問題極限問題有兩種處理方法
(1)用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算;
(2)利用兩邊夾法則求極限.
例16：極限
【說明】用定積分的定義把極限轉化為定積分計算,是把看成［0,1］定積分。
【解】原式＝
例17：極限
【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解；
(2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。
【解】因為
又所以＝１
12．單調有界數列的極限問題
例18：設數列滿足
（ⅰ）證明存在，並求該極限；
（ⅱ）計算.
【分析】 一般利用單調增加有上界或單調減少有下界數列必有極限的準則來證明數列極限的存在.
【詳解】 （ⅰ）因為，則.
可推得，則數列有界.
於是 ，（因當）， 則有，可見數列單調減少，故由單調減少有下界數列必有極限知極限存在.
設，在兩邊令，得 ，解得，即.
（ⅱ） 因 ，由（ⅰ）知該極限為型，
(使用了羅必塔法則)故 .
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