導數的概念及幾何意義》教學設計
教材內容分析
本節課的教學內容選自人教社普通高中課程標準實驗教科書（a版）數學選修2－2第一章第一節的《變化率與導數》，《導數的概念及幾何意義》是在學習了函式平均變化率以後，過渡到瞬時變化率，從而得出導數的概念，再從平均變化率的幾何意義，遷移至瞬時變化率即導數的幾何意義。
導數是微積分的核心概念之一，是從生產技術和自然科學的需要中產生的，它深刻揭示了函式變化的本質，其思想方法和基本理論在在天文、物理、工程技術中有著廣泛的應用，而且在日常生活及經濟領域也日漸顯示出其重要的功能。
在中學數學中，導數具有相當重要的地位和作用。 從橫向看，導數在現行高中教材體系中處於一種特殊的地位。它是眾多知識的交匯點，是解決函式、不等式、數列、幾何等多章節相關問題的重要工具，它以更高的觀點和更簡捷的方法對中學數學的許多問題起到以簡馭繁的處理。
從縱向看，導數是函式一章學習的延續和深化，也是對極限知識的發展，同時為後繼研究導數的幾何意義及應用打下必備的基礎，具有承前啟後的重要作用。
學生學情分析
學生在高一年級的物理課程中已經學習了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函式在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，並將瞬時變化率定義為導數，這是符合學生認知規律的．
而在第一課時平均變化率的學習中，課本給出了乙個思考，觀察函式的影象，平均變化表示什麼？這個思考為研究導數的幾何意義埋下了伏筆。因此，在將瞬時變化率定義為導數之後，立即讓學生繼續探索導數的幾何意義，學生會對導數的幾何意義有更為深刻的認識。
教學目標
1、知識與技能目標
會從數值逼近、幾何直觀感知，解析式抽象三個角度認識導數的含義，應用導數的定義求簡單函式在某點處的導數，掌握求導數的基本步驟，初步學會求解簡單函式在一點處的切線方程。
2、過程與方法目標
通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和歸納能力，通過問題的**體會逼近、模擬、以及用已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法。
3、情感態度與價值觀
經歷數學發現過程，感受數學研究方法，提公升數學學習興趣和信念，應用圖形計算器進行數學實驗中改善數學學習的方法。
教學重點導數概念的建構及用定義求導數的方法。
教學難點導數的幾何解釋及切線概念的形成。
教學策略分析
採用「教師適時引導和學生自主**發現相結合」的教學方式．課堂教學始終貫徹「教師為主導、學生為主體，**為主線，思維為核心」的教學思想.
利用數學實驗室，學生更好的進行合作**活動，借助圖形計算器讓學生通過計算親身體驗，同時借助多**動態演示，讓學生感受逼近的思想方法。
從去年南京寶馬車肇事案，介紹南京交警如何對小車進行測速，提高學生對求瞬時速度的興趣慾望，以已知探求未知，激發學生的學習熱情；引導學生自主運算元值逼近求出瞬時速度，從而得到導數的定義，注重抽象概念不同意義間的轉換，再從惠普圖形計算器的乙個動態演示，讓學生探索出導數的幾何意義。
教學過程設計
1、設定問題情境
生活中有一些現象值得我們去研究，比如，子彈離開槍管那一瞬間的速度，奧運會上百公尺賽跑運動員衝向終點那一時刻的速度。科學上對瞬時速度的研究也是非常有必要的，比如在天宮一號與神州八號的成功對接，最關鍵的就是它們每個瞬間的速度都相等。
（設計意圖：自然引出瞬時速度的定義，激發學生對瞬時速度的求知慾）
而在去年6月份，震驚全國的南京寶馬車肇事案中，車輛經過事發路口時候，車速達195.2km/h。南京交警是怎麼鑑定這個速度的呢？
從乙份鑑定報告書中，我們可以看到，監控**的兩次抓拍的過程中，汽車移動的距離是3.615m，時間間隔為s。通過計算，發現交警鑑定的速度是用位移除以時間。
那麼，交警的這種用平均速度來計算瞬時速度的方法合理嗎？為什麼？
（設計意圖：引導學生，當時間間隔非常小，平均速度與瞬時速度就極為接近，從而為探求瞬時速度埋下伏筆）
二、問題情境，數學**
在高台跳水運動中，運動員相對於水面的高度為h（單位：m）與起跳後的時間t(單位：s )存在函式關係h=-4.9t2+6.5t+10，求ｔ＝2時的瞬時速度。
問題1、能否借助南京交警的測速方法，來解決這個問題？
（設計意圖：引導學生由已知探求未知，激發學生學習熱情）
t在[2,2.1]，[2,2.01]，[2,2.001]內的平均速度分別是多少？
要使得到的瞬時速度更精確，時間的間隔就要很小，那繁瑣的計算，能否引進乙個量，使其得到簡化？
以上三個式子可以統一寫成
（設計意圖：注重數學思想方法的滲透，將複雜計算引入變數可以化成簡單統一）
δt的取值可正可負。用計算器動手實踐，完成：δt＝0.
1，0.01，0.001，0.
0001，0.00001及δt＝－0.1，－0.
01，－0.001，－0.0001，－0.
00001時，即在區間[2，2＋δt]內所對應該的平均速度。
通過計算器的終端控制系統，讀取學生的實驗結果。
（利用圖形計算器，讓學生更深刻的感受到數值的逼近）
問題2、當δt趨於0時，平均速度有怎樣的變化趨勢？
學生通過觀察發現：在t=2時刻,δt趨於0時，平均速度趨於乙個確定的值-13.1。
總結：這個確定的值即瞬時速度，為了更明確的表述趨近的過程,可用極限的思想來表示,即
（設計意圖，利用極限思想，將函式表示式抽象化）
3、模型建構
問題3、如果將以上問題中的函式用來表示，那麼函式在處的瞬時變化率該如何表示呢
引導學生寫出在處的瞬時變化率可表示
總結：我們就把這個瞬時變化率稱為導數。導數的的定義：表示式，即在處的導數。記作
（設計意圖：由平均變化率到瞬時變化率，再由平均變化率到瞬時變化率，符合學生的認知過程。要注重對抽象表示式的理解）
4、模型解釋（導數的幾何意義）
介紹導數的小故事：導數是微積分的核心內容之一。在17世紀，英國的物理學家牛頓與德國的幾何學家萊布尼茨在不同的國度不同的領域創立了微積分。
牛頓從運動學，即瞬時速度的方向研究，萊布尼茨則是在幾何學角度去研究。萊布尼茨是研究的方向是怎樣的呢？
問題4、我們已經知道，時，有常數a，這是從
代數的角度來刻畫的，那麼是不是可以從幾何的角度來加以描述？
解釋幾何構造：設點，則可表示為曲線的割線pq的斜率
學生用圖形計算器在幾何學的app中進行操作，探索時的無限逼近值的幾何意義
總結概括：函式y=f(x)在點x0處存在導數時，導數的幾何意義為：函式在該點處切線的斜率。
五、應用拓展
例題講解課本例題1
將**精煉為汽油、柴油、塑膠等各種產品，需要對**進行冷卻或者加熱，如果在第x h時，**的溫度為。計算第2 h 與第6 h時，**溫度的瞬時變化率，並說明它們的意義。
練一練1、求函式f(x)=x2在x=3處的導數。
2、求在x=1的導數，並求出在該點處切線的斜率
六、複習小結
1、導數的概念的形成過程
2、求導步驟：（1）求（2）求（3）取極限。
3、思想方法：「以已知探求未知」、逼近、模擬、從特殊到一般
馬克思曾對微積分作過一番歷史考察，他把這一時期稱為「神秘的微積分」時期，並有這樣的評論：「於是，人們自己相信了新發現的演算法的神秘性。這種演算法肯定是通過不正確的數學途徑得出了正確的（而且在幾何應用上是驚人的）結果。
人們就這樣把自己神秘化了，對這新發現的評價更高了，使一群舊式正統派數學家更加惱怒，並且激起了敵對的叫囂，這種叫囂甚至在數學界以外產生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。」恩格斯早就指出：「乙個民族想要站在科學的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維。
」板書設計
點評 這堂課是新課改後的一種新的教學模式。體現了資訊科技與數學學科的高度融合。利用圖形計算器進行數學實驗，經歷「提出問題——設計實驗——動手操作——思考歸納——解決問題」這幾個環節，使數學實驗教學與問題解決教學的有機結合，充分體現了學生的主體地位，讓學生經歷數學發現的過程，自主**，激發學生求知慾望，提高學生對數學的興趣。
這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數，展示了乙個完整的數學**過程。提出問題、計算觀察、發現規律、給出定義，讓學生經歷了知識再發現的過程，促進了個性化學習。準確的把握了課程標準的要求和教材的編寫意圖．從教學目標的設定及課堂活動過程看，突出了對例項的感悟及由平均變化率到瞬時變化率過程的經歷，切實突出了本節的重點．
充分的為學生的自主學習與合作學習創設了良好的時空，不僅課堂活動嚴謹有序，強化了學生對知識形成過程的感知，而且為學生提供了科學的學習與研究問題方法的指導．
利用圖形計算器平台輔助教學，不僅豐富了學生的直觀感悟與經歷，化解了教學難點，還優化了對平均變化率數值的計算，較好的提高了課堂教學的效益．
導數的概念》課例點評
這堂課是新課改後的一種新的教學模式。體現了資訊科技與數學學科的高度融合。利用圖形計算器進行數學實驗，經歷「提出問題——設計實驗——動手操作——思考歸納——解決問題」這幾個環節，使數學實驗教學與問題解決教學的有機結合，充分體現了學生的主體地位，讓學生經歷數學發現的過程，自主**，激發學生求知慾望，提高學生對數學的興趣。
這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數，展示了乙個完整的數學**過程。提出問題、計算觀察、發現規律、給出定義，讓學生經歷了知識再發現的過程，促進了個性化學習。準確的把握了課程標準的要求和教材的編寫意圖．從教學目標的設定及課堂活動過程看，突出了對例項的感悟及由平均變化率到瞬時變化率過程的經歷，切實突出了本節的重點．
充分的為學生的自主學習與合作學習創設了良好的時空，不僅課堂活動嚴謹有序，強化了學生對知識形成過程的感知，而且為學生提供了科學的學習與研究問題方法的指導．
利用圖形計算器平台輔助教學，不僅豐富了學生的直觀感悟與經歷，化解了教學難點，還優化了對平均變化率數值的計算，較好的提高了課堂教學的效益．
導數的概念和導數的幾何意義學生版
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