數學必修1函式概念及性質（知識點總結）
（一）函式的有關概念
1．函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
注意：如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合； 函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
定義域補充
能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域，求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等於零； (2)偶次方根的被開方數不小於零； (3)對數式的真數必須大於零；(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1. (5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.
那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數為零底不可以等於零 (6)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
(又注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域。)
2． 構成函式的三要素：定義域、對應關係和值域
再注意：（1）構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域．由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）（2）兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。相同函式的判斷方法：
①表示式相同；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
(見課本21頁相關例2)
值域補充
(1)、函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域. (2).應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎.
(3).求函式值域的常用方法有：直接法、反函式法、換元法、配方法、均值不等式法、判別式法、單調性法等.
3. 函式圖象知識歸納
(1)定義：在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．
c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 . 即記為c=
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成.
(2) 畫法
a、描點法：根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.
b、圖象變換法（請參考必修4三角函式）
常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換
(3)作用：
1、直觀的看出函式的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。
發現解題中的錯誤。
4．快去了解區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）無窮區間；（3）區間的數軸表示．
5．什麼叫做對映
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f：
ab」給定乙個集合a到b的對映，如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
說明：函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應，①集合a、b及對應法則f是確定的；②對應法則有「方向性」，即強調從集合a到集合b的對應，它與從b到a的對應關係一般是不同的；③對於對映f：a→b來說，則應滿足：
（ⅰ）集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；（ⅱ）集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；（ⅲ）不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
6． 常用的函式表示法及各自的優點：
函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據； 解析法：必須註明函式的定義域； 圖象法：描點法作圖要注意：
確定函式的定義域；化簡函式的解析式；觀察函式的特徵； 列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
注意啊：解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值
補充一：分段函式 （參見課本p24-25）
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．（1）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式；（2）分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．
補充二：復合函式
如果y=f(u),(u∈m),u=g(x),(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)，(x∈a) 稱為f、g的復合函式。
例如: y=2sinx y=2cos(x2+1)
7．函式單調性
（1）．增函式
設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意： 函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2） 圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(3).函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法：
任取x1，x2∈d，且x1(b)圖象法(從圖象上看公升降)_
(c)復合函式的單調性
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律如下：
注意：1、函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集. 2、還記得我們在選修裡學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？
8．函式的奇偶性
（1）偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式．
（2）．奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式．
注意： 函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；函式可能沒有奇偶性,也可能既是奇函式又是偶函式。
由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，對於定義域內的任意乙個x，則－x也一定是定義域內的乙個自變數（即定義域關於原點對稱）．
（3）具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
總結：利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟： 首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱； 確定f(－x)與f(x)的關係； 作出相應結論：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式．
注意啊：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函式的圖象判定 .
9、函式的解析表示式
（1）.函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）.求函式的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等，如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法；已知復合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍；當已知表示式較簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
10．函式最大（小）值（定義見課本p36頁）
利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值利用圖象求函式的最大（小）值利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
11．解答數學應用題的關鍵有兩點：
一是認真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，然後進行科學的抽象、概括，將實際問題歸納為相應的數學問題；
二是要合理選取參變數，設定變元後，就要尋找它們之間的內在聯絡，選用恰當的代數式表示問題中的關係，建立相應的函式、方程、不等式等數學模型；最終求解數學模型使實際問題獲解.
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