函式名稱：常數函式
解析式形式：f(x)=b (b∈r)
圖象及其性質：函式f(x)的圖象是平行於x軸或與x軸重合（垂直於y軸）的直線
定義域：r
值域：單調性：沒有單調性
奇偶性：均為偶函式[當b=0時，函式既是奇函式又是偶函式]
反函式：無反函式
週期性：無週期性
函式名稱：一次函式
解析式形式：f(x)=kx+b (k≠0,b∈r)
圖象及其性質：直線型圖象。|k|越大，圖象越陡；|k|越小，圖象越平緩；
當b=0時，函式f(x)的圖象過原點；
當b=0且k=1時，函式f(x)的圖象為
一、三象限角平分線；
當b=0且k=-1時，函式f(x)的圖象為
二、四象限角平分線；
定義域：r
值域：r
單調性：當k>0時，函式f(x)為r上的增函式；
當k<0時，函式f(x)為r上的減函式；
奇偶性：當b=0時，函式f(x)為奇函式；當b≠0時，函式f(x)沒有奇偶性；
反函式：有反函式。[特殊地，當k=-1或b=0且k=1時，函式f(x)的反函式為原函式f(x)本身]
週期性：無
函式名稱：反比例函式
解析式形式：f(x)= (k≠0)
圖象及其性質：圖象分為兩部分，均不與座標軸相交，當k>0時，函式f(x)的圖象分別在第
一、第三象限；當k<0時，函式f(x)的圖象分別在第
二、第四象限；
雙曲線型曲線，x軸與y軸分別是曲線的兩條漸近線；
圖象成中心對稱圖形，對稱中心為原點；
圖象成軸對稱圖形，對稱軸有兩條，分別為y=x、y=-x；
定義域：
值域：單調性：當k>0時，函式f(x)為和上的減函式；
當k<0時，函式f(x)為和上的增函式；
奇偶性：奇函式
反函式：原函式本身
週期性：無
函式名稱：變式型反比例函式
解析式形式：f(x)= (c≠0且 d≠0)
圖象及其性質：圖象分為兩部分，均不與直線、直線相交，當k>0時，函式f(x)的圖象分別在直線與直線形成的左下與右上部分；當k<0時，函式f(x)的圖象分別在直線與直線形成的左上與右下部分；
雙曲線型曲線，直線與直線分別是曲線的兩條漸近線；
圖象成中心對稱圖形，對稱中心為點；
圖象成軸對稱圖形，對稱軸有兩條，分別為、；
由於令，則
進而函式f(x)的圖象可以看成是由函式向左平移個單位，向上平移個單位得到的
定義域：
值域：單調性：當時，函式在和上均為減函式；
當時，函式在和上均為增函式；
奇偶性：非奇非偶函式
反函式：
週期性：無
函式名稱：二次函式
解析式形式：一般式：
頂點式：
兩根式：
圖象及其性質：①圖形為拋物線，對稱軸為，頂點座標為或，與軸的交點為；
②當時，拋物線的開口向上，此時函式圖象有最低點；當時，拋物線的開口向下，此時函式圖象有最高點；
③當時，函式圖象與軸有兩個交點，當時，函式圖象與軸有乙個交點，當時，函式圖象與軸沒有交點；
④橫座標關於對稱軸對稱時，縱座標相等；當時，橫座標距對稱軸近則函式值小，當時，橫座標距對稱軸近則函式值大；
⑤函式均可由函式平移得到；
定義域：r
值域：當時，值域為；當時，值域為
單調性：當時，上為減函式，上為增函式；
當時，上為減函式，上為增函式；
奇偶性：當時，函式為偶函式；當時，函式為非奇非偶函式
反函式：定義域範圍內無反函式，在單調區間內有反函式
週期性：無
函式名稱：指數函式
解析式形式：
圖象及其性質：①函式圖象恆過點，與軸不相交，只是無限靠近；
②函式與的圖象關於軸對稱；
③當時，軸以左的圖象夾在在直線與軸之間，軸以右的圖象在直線以上；當時，軸以左的圖象在直線以上，軸以右的圖象夾在在直線與軸之間；
④第一象限內，底數大，圖象在上方；
定義域：r
值域：單調性：當時，函式為增函式；當時，函式為減函式；
奇偶性：無
反函式：對數函式
週期性：無
函式名稱：對數函式
解析式形式：
圖象及其性質：①函式圖象恆過點，與軸不相交，只是無限靠近；
②函式與的圖象關於軸對稱；
③當時，軸以下的圖象夾在在直線與軸之間，軸以上的圖象在直線以右；當時，軸以下的圖象在直線以右，軸以上的圖象夾在在直線與軸之間；
④第一象限內，底數大，圖象在右方；
定義域：r
值域：單調性：當時，函式為增函式；當時，函式為減函式；[與係數函式的單調性類似，因為兩函式互為反函式]
奇偶性：無
反函式：指數函式
週期性：無
函式名稱：對鉤函式
解析式形式：
圖象及其性質：①函式圖象與軸及直線不相交，只是無限靠近；
②當時，函式有最低點，即當時函式取得最小值；
③當時，函式有最高點，即當時函式取得最大值；
定義域：
值域：單調性：在和上函式為增函式；在和上函式為減函式；
奇偶性：奇函式
反函式：定義域內無反函式
週期性：無
2．3函式單調性（考點疏理+典型例題+練習題和解析）2．3函式單調性
【典型例題】
例1．(1)則a的範圍為( d)
a． b． c． d．
提示：21<0時該函式是r上的減函式
(2)函式)是單調函式的充要條件是( a )
a． b． c． d．
提示：考慮對稱軸和區間端點.結合二次函式圖象
(3)已知在區間上是減函式，且，則下列表達正確的是（ d ）
a． b．
c． d．
提示：可轉化為和在利用函式單調性可得.
(4) 如下圖是定義在閉區間上的函式
的圖象,該函式的單調增區間為 [-2,1]和[3,5]
提示:根據圖象寫出函式的單調區間.注意區間不能合併.
(5) 函式的單調減區間是
提示:結合二次函式的圖象,注意函式的定義域.
例2．畫出下列函式圖象並寫出函式的單調區間
（1） （2）
解：(1) 即
如圖所示，單調增區間為，單調減區間為
（2）當，函式
當，函式
即如圖所示，單調增區間為，單調減區間為
(12例3．根據函式單調性的定義，證明函式在上是減函式．
證明：設
則，且在與中至少有乙個不為0，
不妨設 ，那麼，
故在上為減函式
例4.設是定義在r上的函式，對、恒有，且當時，。
（1）求證2）證明：時恒有；
（3）求證：在r上是減函式； （4）若，求的範圍。
解：(1)取m=0，n= 則，因為所以
(2)設則
由條件可知
又因為，所以
∴時，恒有
（3）設則
= =因為所以所以即
又因為，所以
所以，即該函式在r上是減函式.
(4) 因為，所以
所以，所以
【課內練習】
1．下列函式中,在區間(0,2)上為增函式的是(d ).
a． b． c． d．
提示：根據函式的圖象.
2.函式的增區間是（a ）.
a． [3,1] b． [1,1] c． d．
提示：注意函式的定義域.
3. 在上是減函式，則的取值範圍是（a ）.
a． b． c． d．
提示:考查二次函式圖象的對稱軸和區間端點.
4．若函式在區間[,b]上具有單調性，且,則方程在區間[，b]上（d）a．至少有乙個實數根 b．至多有乙個實數根 c．沒有實數根 d．必有唯一的實數根
提示:借助熟悉的函式圖象可得.
5. 函式的單調增區間是____，單調減區間______。
提示:畫出二次函式的圖象,考慮函式對稱軸.
6．若當時是增函式,當時是減函式,則 13
提示：由題可知二次函式的對稱軸是可求出m的值.
7．已知在定義域內是減函式，且》0，在其定義域內下列函式為單調增函式的為 ②③
①（為常數）；②（為常數）；③ ；④ ．
提示：借助復合函式的單調性.
8．函式上的最大和最小值的和為，則=
提示：是[0,1]上的增函式或減函式,故，可求得=
9．設是定義在上的單調增函式，滿足
求：（1）f（1）；（2）當時x的取值範圍.
解:(1) 令可得 (2)又2=1+1=
由,可得
因為是定義在上的增函式,
所以有且且，解得：
10．求證:函式在上是增函式.
證明:設則
當時 ,, ，所以
所以函式在上是增函式.
2．4 函式的奇偶性（考點疏理+典型例題+練習題和解析）
【典型例題】
例1．（1）下面四個結論中，正確命題的個數是（a）
①偶函式的圖象一定與y軸相交；②函式為奇函式的充要條件是；③偶函式的圖象關於y軸對稱；④既是奇函式，又是偶函式的函式一定是f（x）=0（x∈r）．
a．1b．2c．3d．4
提示：①不對，如函式是偶函式，但其圖象與軸沒有交點；②不對，因為奇函式的定義域可能不包含原點；③正確；④不對，既是奇函式又是偶函式的函式可以為f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案為a．
（2）已知函式是偶函式，且其定義域為［］，則（ ）
高中數學必修一函式部分難題彙總
函式部分難題彙總 1 函式的圖象與直線的公共點數目是 a b c 或 d 或2 為了得到函式的圖象，可以把函式的圖象適當平移，這個平移是 a 沿軸向右平移個單位 b 沿軸向右平移個單位c 沿軸向左平移個單位 d 沿軸向左平移個單位3 設則的值為 a b c d 4 已知函式定義域是，則的定義域是 a...
高中數學定理證明彙總
必修1p64 分數指數冪的定義 根式解釋 一般的，給定正實數a,對於任意給定的正整數m,n,存在唯一的正實數b,使得bn am,我們把b叫作a的次冪，記作，它就是正分數指數冪。有時我們把正分數指數冪寫成根式形式，即 a 0 p81 對數的運算性質 證明 設logam p,logan q,則由對數定義...
高中數學函式說課稿
各位評委老師，大家好！我是本科數學 號選手，今天我要進行說課的課題是高中數學必修一第一章第三節第一課時 函式單調性與最大 小 值 可以在這時候板書課題，以緩解緊張 我將從教材分析 教學目標分析 教法 學法 教學過程 教學評價五個方面來陳述我對本節課的設計方案。懇請在座的專家評委批評指正。一 教材分析...