函式【知識點】
一、 函式的概念：
1. 對映：
一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f（對應關係）：
a（原象）b（象）」
對於對映f：a→b來說，則應滿足：
(1)集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；
(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；
(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
2. 函式的概念：
設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作： y=f(x)，x∈a．
其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
函式的三要素：定義域、對應關係、值域.
3.如果兩個函式的定義域相同，並且對應關係完全一致，則稱這兩個函式相等.
4.函式的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.
1．設函式對任意x、y滿足，且，則＝（a ）
a．－2 b．± c．±1 d．2
2.下列各組函式中，表示同一函式的是（ a ）
g(x)=x0 g(x)= g(x)= g(x)=()2
二、定義域及值域的求法：
1 定義域的求法
能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。求函式的定義域時，列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零；
(2)偶次方根的被開方數不小於零；
(3)對數式的真數必須大於零；
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1；
(5) 指數為零，底不可以等於零；
(6) 如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；
(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
2 值域的求法:
(1)觀察法：
通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。
(2)配方法：
(二次或四次) 轉化為二次函式，利用二次函式的特徵來求值；
常轉化為含有自變數的平方式與常數的和，型如：的形式，然後根據變數的取值範圍確定函式的最值。
(3)換元法：
代數換元法通過變數代換達到化繁為簡、化難為易的目的；三角代換法可將代數函式的最值問題轉化為三角函式的最值問題，化歸思想。
(4)分離常數法：
對某些分式函式，可通過分離常數法，化成部分分式來求值域。
(5)反求法：
通過反解，用來表示，再由的取值範圍，通過解不等式，得出的取值範圍；常用來解，型如：
(6)判別式法：
若函式y=f（x）可以化成乙個係數含有y的關於x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，則在a（y）≠0時，由於x、y為實數，故必須有δ=b2（y）－4a（y）·c（y）≥0，從而確定函式的最值，檢驗這個最值在定義域內有相應的x值。
(7)最值法：
對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值，並與邊界值f(a)，f(b)作比較,求出函式的最值，可得到函式y的值域。
(8)基本不等式法：
轉化成型如：，利用基本不等式公式來求值域。
(9)單調性法：
函式為單調函式，可根據函式的單調性求值域。
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)
(10)數形結合：
根據函式圖象或函式的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。
(11)構造法：
根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。
(12)導數法：
利用導數求值域。
1．已知函式的定義域為[0，4]，求函式的定義域為（ ）
a． b． c． d．
2．函式的值域為
34．函式的值域為
5、【2012高考山東文3】函式的定義域為
(a) (b) (c) (d)
【答案】b
【解析】方法一：特值法，當時，無意義，排除a,c.當時，，不能充當分母，所以排除d,選b.
方法二：要使函式有意義則有，即，即或，選b.
三、解析式的求法：
1. 待定係數法：
已知函式圖象，確定函式解析式，或已知函式的型別且函式滿足的方程時，常用待定係數法。
2. 函式性質法：
如果題目中給出函式的某些性質（如奇偶性、週期性），則可利用這些性質求出解析式。
3. 圖象變換法：
若給出函式圖象的變化過程，要求確定圖象所對應的函式解析式，則可用圖象變換法。
4. 換元法：
5. 配湊法：
6. 賦值（式）法：
1.（07安徽）圖中的圖象所表示的函式的解析式為
a. (0≤x≤2)
b. (0≤x≤2)
c. (0≤x≤2)
d. (0≤x≤2)
答案 b
2.【2012高考重慶文12】函式為偶函式，則解析式為——
【答案】, f（x）=（x+4）（x-4）
3. 曲線在點處的切線方程為
3. 4．如果函式的圖象與函式的圖象關於座標原點對稱，則的表示式為（ ）
a． b． c． d．
四、函式圖象：
1.定義：
在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 .
2.畫法：
（1）描點法：
（2）圖象變換法：
常用變換方法有三種： 平移變換、伸縮變換、對稱變換
3.區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間
（2）無窮區間
（3）區間的數軸表示．
1.【2012高考四川文4】函式的圖象可能是（ ）
【答案】ｃ
【解析】當時單調遞增，，故a不正確；因為恆不過點，所以b不正確；當時單調遞減，，故c正確 ；
2. （2023年高考（四川文））函式的圖象可能是 c
3.(2009山東卷文)函式的影象大致為
答案 a.
解析函式有意義,需使,其定義域為,排除c,d,又因為,所以當時函式為減函式,故選a.
【命題立意】:本題考查了函式的圖象以及函式的定義域、值域、單調性等性質.本題的難點在於給出的函式比較複雜,需要對其先變形,再在定義域內對其進行考察其餘的性質.
4.（07安徽）圖中的圖象所表示的函式的解析式為
a. (0≤x≤2)
b. (0≤x≤2)
c. (0≤x≤2)
d. (0≤x≤2)
答案 b
五、函式的單調性：
1. 定義：
設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：函式的單調性是函式的區域性性質
2. 圖象的特點：
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
3. 函式單調區間與單調性的判定方法：
(1)定義法：
任取x1，x2∈d，且x1變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．
(2)圖象法(從圖象上看公升降)
4.函式單調性的常用結論：
(1)若均為某區間上的增（減）函式，則在這個區間上也為增（減）函式；
(2)若為增（減）函式，則為減（增）函式；
(3)若與的單調性相同，則是增函式；若與的單調性不同，則是減函式；其規律：「同增異減」
(4)奇函式在對稱區間上的單調性相同，偶函式在對稱區間上的單調性相反；
(5)常用函式的單調性解答：比較大小、求值域與最值、解不等式、證不等式、作函式圖象；
(6)函式的單調區間只能是定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成並集。
1.下列四個函式其中在上為減函式的是（a ）。
（a）① （b）④ （c）①、④ （d）①、②、④
2.已知，函式的單調遞減區間為 [-2，1
3.（07天津）在上定義的函式是偶函式，且，若在區間是減函式，則函式
a.在區間上是增函式，區間上是增函式
b.在區間上是增函式，區間上是減函式
c.在區間上是減函式，區間上是增函式
d.在區間上是減函式，區間上是減函式
答案 b
4.（2023年上海13）若函式，則該函式在上是
a．單調遞減；無最小值b．單調遞減；有最小值
c．單調遞增；無最大值d．單調遞增；有最大值
答案 a
5.（2009廣東三校一模）設函式.
(1)求的單調區間;
解 （1）函式的定義域為.
由得由得,則增區間為,減區間為
6 函式y=x2㏑x的單調遞減區間為 （ b ）
a．(1,1] b．(0,1] c．[1,+∞) d．(0,+∞)
高中數學函式數列知識點解析
第一章 集合與函式的概念 一 集合的概念與運算 1 集合的特性與表示法 集合中的元素應具有 確定性互異性無序性 集合的表示法有 列舉法描述法 venn圖等。2 集合的分類 有限集 無限集 空集。數集 點集 3 子集與真子集 若則若但abab 若，則它的子集個數為個 4 集合的運算 若則 若則 5 對...
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