必修1p64 分數指數冪的定義、根式解釋：
一般的，給定正實數a,對於任意給定的正整數m,n,存在唯一的正實數b,使得bn=am,我們把b叫作a的次冪，記作， 它就是正分數指數冪。
有時我們把正分數指數冪寫成根式形式，即 （a>0）
p81 對數的運算性質：
證明：設logam=p,logan=q,則由對數定義得ap=m,aq=n.
因為 mn=apaq=ap+q，所以p+q=loga(mn)
即loga(mn)=logam+logan
p84 換底公式：
證明：設x=logbn,根據對數定義，有n=bx. 兩邊取以a為底的對數，得logan=logabx.
而logabx=xlogab,所以logan=xlogab.
由於b≠1,則logab≠0，解出x,得x=,
因為x=logbn,所以logbn=
很容易由換底公式得到 logba=
必修2p24 平面的基本性質的推論：
1. 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面。
2. 經過兩條相交直線，有且只有乙個平面。
3. 經過兩條平行直線，有且只有乙個平面。
證明推論2：
設，在直線a上取點b，且a、b不重合，在直線b上取點c，且a、c不重合。
因為a、b、c不重合
則有且僅有乙個平面經過a、b、c
因為點a、b都在直線a上
所以直線a在平面內
同理直線b也在平面內
所以經過兩條相交直線只有乙個平面。
推論3：證明：設直線a∥b,任取點aa, ba，取點cb，則三點a、b、c確定乙個平面abc.
再任取c以外一點db
假設過兩條條直線a、b有兩個或以上平面
即平面abc 、平面abd是兩個不同的平面且相交於ab，且點c、d不在直線ab上
得出ab cd是異面直線
與a∥b衝突
所以，假設錯誤
p28 定理5.1 若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。
p30 定理5.2 如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，那麼這兩個平面平行。
p31 定理5.3 如果一條直線與乙個平面平行，那麼過這直線的任意乙個平面與已知平面的交線與該直線平行。
p32 定理5.4 如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行．
p36 定理6.1 如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼該直線與此平面垂直．
p37 定理6.2如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直．
p39 定理6.3 如果兩條直線同垂直於乙個平面，那麼這兩條直線平行．
證明：一般的，如果直線a⊥平面，直線b⊥平面,這時，a和b平行嗎？
如圖，假設a和b不平行。
設b與a交於點o，b'是經過點o與a平行的直線。
因為a∥b',a⊥平面,所以，b'⊥平面。
這樣，經過同一點o的直線b,b'都垂直於平面，這是不可能的。
因此，a∥b。
p40 定理6．4 如果兩個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面。
在一般情況下，平面α⊥平面β， =mnb，這時，直線ab和平面α垂直嗎？
如圖，在平面α內作直線bcmn，則abc是二面角α-mn-β的平面角，因為平面α⊥平面β，所以abc=90°，即ab⊥bc，又已知ab⊥mn,從而ab⊥α。
p47p73 △abc中，d是bc邊上任意一點（d與b,c不重合），且|ab|2=|ad|2+|bd||dc|.求證：△abc為等腰三角形。
解：作ao⊥bc,垂足為o,以bc所在直線為x軸，以oa所在直線為y軸，建立直角座標系。
設a（0，a）,b（b，0）,c（c，0）,d（d，0）,
因為|ab|2=|ad|2+|bd||dc|，所以，由距離公式可得
b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),
即 - (d-b) (b+d) = (d-b)(c-d)
又 d-b≠0,
故 -b-d=c-d
即-b=c.
所以|ab|=|ac|,即△abc為等腰三角形。
p75例19 用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點到兩腰的距離之差等於一腰上的高。
證明：在△abc中，ab=ac,p為bc延長線上一點，pd⊥ab於d,pe⊥ac於e，cf⊥ab於f.以bc所在直線為x軸，以bc的中垂線為y軸，建立直角座標系。
設a（0，b）,b( -a,0）,c( a,0）(a>0,b>0),則直線ab方程為bx-ay+ab=0,直線ac方程為bx+ay-ab=0,取p（x0,0）,使x0>a,則點p到直線ab,ac的距離分別為
，點c到直線ab的距離為，
則|pd|-|pecf|.
必修4p83
平面向量基本定理如果el，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的仟一向量a，存在一對實數，使．
我們把不共線的向量el，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底．
如果el，e2是同一平面內的兩個不共線向量，a這一平面內的任一向量，那麼a與el，e2之間有什麼關係呢?
如圖2—25，在平面內任取一點o．作=el， =e2， =a．過點c分別作平行於ob，oa的直線,交直線oa於點m，交直線ob於點n，則有且只有一對實數，使得，
因為所以
p94p97
p99p100
p116
p122
p127
必修5p15
p27p45
p48p49
p83p88
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