新課標立體幾何常考證明題彙總
1、已知四邊形是空間四邊形，分別是邊的中點
（1） 求證：efgh是平行四邊形
（2） 若bd=，ac=2，eg=2。求異面直線ac、bd所成的角和eg、bd所成的角。
證明：在中，∵分別是的中點∴
同理，∴∴四邊形是平行四邊形。
(2) 90° 30 °
考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角
2、如圖，已知空間四邊形中，，是的中點。
求證：（1）平面cde;
（2）平面平面。
證明：（1）
同理，又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面
考點：線面垂直，面面垂直的判定
3、如圖，在正方體中，是的中點，
求證：平面。
證明：連線交於，連線，
∵為的中點，為的中點
∴為三角形的中位線 ∴
又在平面內，在平面外
∴平面。
考點：線面平行的判定
4、已知中,面, ,求證：面．
證明 又面
面又面考點：線面垂直的判定
5、已知正方體，是底對角線的交點.
求證：(１) c1o∥面；(2)面．
證明：（1）鏈結，設，鏈結
∵是正方體是平行四邊形
∴a1c1∥ac且
又分別是的中點，∴o1c1∥ao且
是平行四邊形
面，面 ∴c1o∥面
（2）面
又同理可證， 又
面考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定
6、正方體中，求證：（1）；（2）.
考點：線面垂直的判定
7、正方體abcd—a1b1c1d1中．(1)求證：平面a1bd∥平面b1d1c；
(2)若e、f分別是aa1，cc1的中點，求證：平面eb1d1∥平面fbd．
證明：(1)由b1b∥dd1，得四邊形bb1d1d是平行四邊形，∴b1d1∥bd，
又bd 平面b1d1c，b1d1平面b1d1c，
∴bd∥平面b1d1c．
同理a1d∥平面b1d1c．
而a1d∩bd＝d，∴平面a1bd∥平面b1cd．
(2)由bd∥b1d1，得bd∥平面eb1d1．取bb1中點g，∴ae∥b1g．
從而得b1e∥ag，同理gf∥ad．∴ag∥df．∴b1e∥df．∴df∥平面eb1d1．∴平面eb1d1∥平面fbd．
考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）
8、如圖是所在平面外一點，平面， 是的中點，是上的點，
（1）求證：；（2）當， 時，求的長。
證明：（1）取的中點，鏈結，∵是的中點，
∴，∵平面，∴ 平面
∴是在平面內的射影 ，取的中點，鏈結，∵∴，又，∴[**:學§科§網]
∴，∴，由三垂線定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴
考點：三垂線定理
10、如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點.求證：平面∥平面.
證明：∵、分別是、的中點， ∥
又平面，平面∥平面
∵四邊形為平行四邊形，∥
又平面，平面∥平面
，平面∥平面
考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）
11、如圖，在正方體中，是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.
證明：（1）設，
∵、分別是、的中點， ∥
又平面，平面， ∥平面
（2）∵平面，平面，
又，， 平面，平面，平面平面
考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定
12、已知是矩形，平面，，，為的中點．
（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角．
證明：在中，，
∵平面，平面，
又， 平面
（2）為與平面所成的角
在，，在中，
在中，，
考點：線面垂直的判定,構造直角三角形
13、如圖，在四稜錐中，底面是且邊長為的菱形，側面是等邊三角形，且平面垂直於底面．
（1）若為的中點，求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的大小．
證明：（1）為等邊三角形且為的中點，
又平面平面， 平面
（2）是等邊三角形且為的中點，
且，， 平面，
平面，（3）由，∥，
又，∥，
為二面角的平面角
在中，，
考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）
14、如圖1,在正方體中，為的中點，ac交bd於點o，求證：平面mbd．
證明：鏈結mo，，∵db⊥，db⊥ac，，
∴db⊥平面，而平面∴db⊥．
設正方體稜長為，則，．
在rt△中，．∵，∴．
∵om∩db=o，∴⊥平面mbd．
考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直
15、如圖２，在三稜錐ａ－bcd中，bc＝ac，ad＝bd，
作be⊥cd，ｅ為垂足，作ah⊥be於ｈ．求證：ah⊥平面bcd．
證明：取ab的中點ｆ，鏈結cf，df．
∵，∴．
又，∴平面cdf．
∵平面cdf，∴．
又，，∴平面abe，．
∴平面bcd．
考點：線面垂直的判定
16、證明：在正方體abcd－a1b1c1d1中，a1c⊥平面bc1d
證明：鏈結ac
∴ ac為a1c在平面ac上的射影
考點：線面垂直的判定，三垂線定理
17、如圖，過s引三條長度相等但不共面的線段sa、sb、sc，且∠asb=∠asc=60°，∠bsc=90°，求證：平面abc⊥平面bsc．
證明∵sb=sa=sc，∠asb=∠asc=60°∴ab=sa=ac取bc的中點o，連ao、so，則ao⊥bc，so⊥bc，
∴∠aos為二面角的平面角，設sa=sb=sc=a，又∠bsc=90°，∴bc=a，so=a，
ao2=ac2－oc2=a2－a2=a2，∴sa2=ao2+os2，∴∠aos=90°，從而平面abc⊥平面bsc．
考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）
高中數學立體幾何專題 證明題 訓練
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