高中數學相關定理、公式及結論證明
一、三角函式部分
1.正弦定理證明
內容：在中，分別為角的對邊，則
證明： 1.利用三角形的高證明正弦定理
（1）當abc是銳角三角形時，設邊ab上的高是cd，
根據銳角三角函式的定義，有。
由此，得 ，同理可得
故有 .
從而這個結論在銳角三角形中成立.
（2）當abc是鈍角三角形時，過點c作ab邊上的高，
交ab的延長線於點d，根據銳角三角函式的定義，
有， 。
由此，得 ，同理可得
故有 .
（3）在中， ，
由(1)(2)（3）可知，在abc中， 成立.
2.外接圓證明正弦定理
在△abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,作△abc的外接圓,o為圓心,
鏈結bo並延長交圓於b′,設bb′=2r.則根據直徑所對的圓周
角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到
∠bab′=90°，∠c =∠b′，
∴sinc=sinb′=.
同理,可得.∴.
3.向量法證明正弦定理
同理故有 .
2.餘弦定理證明
內容：在中，分別為角的對邊，則
證明：如圖在中，
同理可證： 所以
3.兩角和（差）的余弦公式證明
如圖在單位圓中設p（cos,sin）,q（cos,sin）
則：在單位圓中設p（cos,sin）,q（cos,-sin）
則：（或）4.兩角和（差）的正弦公式證明
二、兩角和（差）的正弦公式證明。
內容：證明：5．兩角和（差）的正切公式證明
內容：，
證明：6．半形公式證明
內容：證明：由二倍角公式
用代替，得，得
， 7.誘導公式
公式：如圖：設的終邊與單位圓（半徑為單位長度1的園）交
於點p(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點必為
p(x，-y)．由正弦函式、余弦函式的定義，即可得
sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x,
所以：sin(-)= -sin, cos(-)= cosα
由倒數關係和商數關係可以得到有關正切的-誘導公式。
公式：它刻畫了角180+與角的正弦值（或余弦值）
之間的關係，這個關係是：以角終邊的反向延長線
為終邊的角的正弦值（或余弦值）與角的正弦值（或
圓交於點p( x，y)，則角終邊的反向延長線，即
180+角的終邊與單位圓的交點必為p(-x，-y)（如圖4-5-1）．
由正弦函式、余弦函式的定義，即可得sin=y， cos=x,
sin(180+)=-y, cos(180+)=-x,
所以 :sin(180+)=-sin，cos(180+)=-cos．
由倒數關係和商數關係可以得到有關正切的誘導公式。
相應誘導公式
公式一： 設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα k∈z cos（2kπ+α）=cosα k∈z tan（2kπ+α）=tanα k∈z
公式二：sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tan公式三：sin（－α）=－sinα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係：
sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係：
sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα
公式六： π/2±α與α的三角函式值之間的關係：
sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα
二.數列部分
1．等差數列前項和公式證明
內容：是等差數列，公差為，首項為，為其前項和，則
證明：由題意，①
反過來可寫為：②
①+②得：2
所以，③，
把代入③中，得
2．等比數列前項和公式證明
內容：是等比數列，公比為，首項為，為其前項和，則=
證明：①
②①—②得：，
當時， ③
把代入③中，得
當時。很明顯
所以， =
三.立體幾何部分
1.三垂線定理及其逆定理
內容：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
證明：已知：如圖（9），直線與平面相交與點a，在上的射影oa垂直於
求證：⊥
證明： 過p作po垂直於
∵po⊥α
∴po⊥
又⊥oa ，po∩oa=o
∴⊥平面poa
2.求證：如果一條直線與乙個平面平行,那麼過該直線的任意乙個平面與已知平面的交線與該直線平行.
3.求證：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那麼它們的交線平行.
4.求證：如果兩個平面互相垂直,那麼在乙個平面內垂直於它們交線的直線垂直於另乙個平面.
5.求證：如果兩條直線同垂直於乙個平面,那麼這兩條直線平行.
四、解析幾何部分
1.點到直線距離公式證明
內容：已知直線直線外一點則其到直線的距離為。
向量法證明1：
設直線直線外一點直線上一點可得直線的
乙個方向向量為設其法向量為
則，可得直線一法向量為
的單位向量為
由題意，點到直線的距離為在上的射影，
所以，②
因為點在直線上，所以①
所以，把①代入②中，得
證明2：設直線的乙個法向量
，q直線上任意一點，
證明3：根據定義，點p到直線的距離是點p到直線的垂線段的長，如圖1，
設點p到直線的垂線為，垂足為q，由可知的斜率為
的方程：與聯立方程組
解得交點
五、平面向量部分
1.平行向量定理
內容：若兩個向量（與座標軸不平行）平行，則它們相應的座標成比例；若兩個向量相對應的座標成比例，則兩向量平行。
證明：設是非零向量，且
若，則存在實數使，且由平面向量基本定理可知
得： 若（即向量不與座標軸平行）則
2.平面向量基本定理
內容：如果是同一平面內的兩個不共線的向量，那麼對於這一平面內的任意一向量，存在唯一一對
實數，使得
證明：如圖過平面內一點o，作，過點c分別作直
線oa和直線ob的平行線，交oa於點m，交ob於點n，有且只有一組實數，使得即
3.共線向量定理
內容：如圖a,b,c為平面內的三點，且a,b不重合，點p為平面內任一點，若c在直線ab上，則有
證明：由題意，與共線，
化簡為：
六、柯西不等式
若a、b、c、d為實數，則或
證法：（綜合法）
證法：（向量法）設向量，，則，.
∵，且，則. ∴
七、函式和導數部分
換底公式證明
內容：證明：設，則
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