一、選擇題
1．(文)函式y＝ax3－x在r上是減函式，則( )
a．ab．a＝1
c．a＝2d．a≤0
[答案] d
[解析] y′＝3ax2－1，
∵函式y＝ax3－x在r上是減函式，
∴3ax2－1≤0在r上恆成立，∴a≤0.
(理)(2010·瑞安中學)若函式f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是r上的單調遞增函式，則實數m的取值範圍是( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] f ′(x)＝3x2＋2x＋m，由條件知，f ′(x)≥0恆成立，∴δ＝4－12m≤0，∴m≥，故選c.
2．(文)(2010·柳州、貴港、欽州模擬)已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b切於點(1,3)，則b的值為( )
a．3 b．－3 c．5 d．－5
[答案] a
[解析] 由條件知(1,3)在直線y＝kx＋1上，∴k＝2.
又(1,3)在曲線y＝x3＋ax＋b上，∴a＋b＝2，
∵y′＝3x2＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1，∴b＝3.
(理)(2010·山東濱州)已知p點在曲線f：y＝x3－x上，且曲線f在點p處的切線與直線x＋2y＝0垂直，則點p的座標為( )
a．(1,1b．(－1,0)
c．(－1,0)或(1,0d．(1,0)或(1,1)
[答案] c
[解析] ∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又過p點的切線與直線x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又p點在曲線f：y＝x3－x上，∴當x＝1時，y＝0，當x＝－1時，y＝0，∴p點的座標為(－1,0)或(1,0)，故選c.
3．(2010·山東文)已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函式關係式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大的年利潤的年產量為( )
a．13萬件b．11萬件
c．9萬件d．7萬件
[答案] c
[解析] 由條件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，當x∈(0,9)時，y′>0，函式單調遞增，當x∈(9，＋∞)時，y′<0，函式單調遞減，∴x＝9時，函式取得最大值，故選c.
[點評] 本題中函式只有乙個駐點x＝9，故x＝9就是最大值點．
4．(文)(2010·四川雙流縣質檢)已知函式f(x)的定義域為r，f ′(x)為其導函式，函式y＝f ′(x)的圖象如圖所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，則不等式f(x2－6)>1的解集為( )
a．(2,3)∪(－3，－2b．(－，)
c．(2,3d
[答案] a
[解析] 由f ′(x)圖象知，f(x)在(－∞，0]上單調遞增，在[0，＋∞)上單調遞減，∴由條件可知f(x2－6)>1可化為0≤x2－6<3或0≥x2－6>－2，
∴2(理)(2010·哈三中)設f(x)，g(x)分別為定義在r上的奇函式和偶函式，且g(x)≠0，當x<0時，f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－2)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為( )
a．(－2,0)∪(0,2)
b．(－2,0)∪(2，＋∞)
c．(－∞，－2)∪(0,2)
d．(－2，－∞)∪(2，＋∞)
[答案] c
[解析] 設φ(x)＝f(x)g(x)，
∵f(x)為奇函式，∴f(－x)＝－f(x)，
∵g(x)為偶函式，∴g(－x)＝g(x)，∴φ(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－φ(x)，故φ(x)為奇函式，
∵f(－2)＝0，∴φ(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，
∴φ(2)＝0，∵x<0時，φ′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上為增函式，∴φ(x)在(0，＋∞)上為增函式，故使f(x)g(x)<0成立的x取值範圍是x<－2或05．函式y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的單調增區間是( )
a．(－π，－)和(0，)
b．(－，0)和(0，)
c．(－π，－)和(，π)
d．(－，0)和(，π)
[答案] a
[解析] y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，
當x∈(－π，－)時，y′＝xcosx>0，∴y為增函式；
當x∈(－，0)時，y′＝xcosx<0，∴y為減函式；
當x∈(0，)時，y′＝xcosx>0，∴y為增函式；
當x∈(，π)時，y′＝xcosx<0，∴y為減函式；
∴y＝xsinx＋cosx在(－π，－)和(0，)上為增函式，故應選a.
6．若函式f(x)＝x3－12x在區間(k－1，k＋1)上不是單調函式，則實數k的取值範圍是( )
a．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3
b．－3c．－2d．不存在這樣的實數
[答案] b
[解析] 因為y′＝3x2－12，由y′>0得函式的增區間是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函式的減區間是(－2，2)，由於函式在(k－1，k＋1)上不是單調函式，所以有k－1<－2[點評] 已知函式f(x)，由f ′(x)的符號可得到函式f(x)的單調區間，而f(x)在區間(k－1，k＋1)上不單調，因此，k－1與k＋1應分布在函式f(x)的兩個單調區間內．請再練習下題：
已知函式f(x)＝x3－kx在區間(－3，－1)上不單調，則實數k的取值範圍是________．
[答案] 3[解析] f ′(x)＝3x2－k.由3x2－k>0，得x2>，若k≤0，則f(x)顯然在(－3，－1)上單調遞增，
∴k>0，∴x>或x<－.
由3x2－k<0得－∴f(x)在上單調遞增，在(－，)上單調遞減，在上單調遞增，
由題設條件知－3<－<－1，∴37．函式y＝e在點(4，e2)處的切線與座標軸所圍成三角形的面積為( )
a. e2b．4e2
c．2e2d．e2
[答案] d
[解析] ∵y′＝·e，∴切線的斜率k＝y′|x＝4＝e2，
∴切線方程為y－e2＝e2(x－4)，
令x＝0得y＝－e2，令y＝0得x＝2，∴s＝e2.
8．已知a，b是實數，且ea．ab>ba
b．abc．ab＝ba
d．ab與ba的大小關係不確定
[答案] a
[解析] 令f(x)＝，則f ′(x)＝.當x>e時，f ′(x)<0，∴f(x)在(e，＋∞)上單調遞減．
∵ef(b)，即》，
∴blna>alnb，∴lnab>lnba，∴ab>ba.
9．(2010·安徽合肥質檢)已知r上可導函式f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0的解集為( )
a．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
b．(－∞，－2)∪(1,2)
c．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
d．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
[答案] d
[解析] 不等式(x2－2x－3)f ′(x)>0化為
(1)或(2)
∵f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調增，在(－1,1)上單調減，
∴f ′(x)>0的解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f ′(x)<0解集為(－1,1)，
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3，
由x2－2x－3<0得，－1∴由(1)得，∴x<－1或x>3；
由(2)得，∴－1綜上可知，x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
10．(文)(2010·合肥市)已知函式f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的兩個極值分別為f(x1)，f(x2)，若x1，x2分別在區間(0,1)與(1,2)內，則b－2a的取值範圍是( )
a．(－4，－2b．(－∞，2)∪(7，＋∞)
c．(2,7d．(－5，－2)
[答案] c
[解析] 由條件知，f ′(x)＝x2＋ax＋2b＝0的兩根x1，x2分別在(0,1)和(1,2)內，∴f ′(0)＝2b>0，f ′(1)＝1＋a＋2b<0，f ′(2)＝4＋2a＋2b>0，作出可行域如圖中陰影部分，當直線z＝b－2a經過可行域內點a(－1,0)時，z取最小值2，經過點b(－3,1)時，z取最大值7，
∴b－2a∈(2,7)．
(理)(2010·延邊州質檢)定義在r上的函式f(x)滿足f(4)＝1，f ′(x)為f(x)的導函式，已知函式y＝f ′(x)的圖象如下圖所示，若兩正數a，b滿足，f(2a＋b)<1，則的取值範圍是( )
ab.∪(3，＋∞)
cd．(－∞，－3)
[答案] a
[解析] ∵f(4)＝1，∴f(2a＋b)<1化為f(2a＋b)∴a，b>0，∴2a＋b>0，由圖知在(0，＋∞)上，f ′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上為增函式，∴2a＋b<4，
如圖，可行域為△aob的內部(不含邊界)，表示可行域內點與點p(－2，－2)連線的斜率，
∵kpa＝，kpb＝3，∴<<3.
[點評] 特別注意f ′(x)的圖象提供了f(x)的單調性，從而利用單調性將不等式f(2a＋b)<1化去函式符號「f 」，轉化為通常的二元一次不等式，請再練習下題．
已知函式f(x)的定義域為[－2，＋∞)，部分對應值如下表，f ′(x)為f(x)的導函式，函式y＝f ′(x)的圖象如右圖所示，若兩正數a，b滿足f(2a＋b)<1，則的取值範圍是________.
答案：二、填空題
11．(2010·北京順義一中月考)已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調增函式，則a的最大值是________．
[答案] 3
[解析] f ′(x)＝3x2－a，∵f(x)在[1，＋∞)上是單調增函式，∴f ′(x)≥0在[1，＋∞)上恆成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恆成立，∴a的最大值為3.
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