一、選擇題
1．設0≤α<2π，若方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則α的取值範圍是( )
ab.cd.
[答案] c
[解析] 化為＋＝1，
∴－>>0，故選c.
2．(文)(2010·瑞安中學)已知雙曲線c的焦點、頂點分別恰好是橢圓＋＝1的長軸端點、焦點，則雙曲線c的漸近線方程為( )
a．4x±3y＝0b．3x±4y＝0
c．4x±5y＝0d．5x±4y＝0
[答案] a
[解析] 由題意知雙曲線c的焦點(±5,0)，頂點(±3，0)，∴a＝3，c＝5，∴b＝＝4，
∴漸近線方程為y＝±x，即4x±3y＝0.
(理)(2010·廣東中山)若橢圓＋＝1過拋物線y2＝8x的焦點，且與雙曲線x2－y2＝1，有相同的焦點，則該橢圓的方程是( )
a.＋＝1b.＋y2＝1
c.＋＝1d．x2＋＝1
[答案] a
[解析] 拋物線y2＝8x的焦點座標為(2,0)，則依題意知橢圓的右頂點的座標為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2－y2＝1有相同的焦點，∴a＝2，c＝，
∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴橢圓的方程為＋＝1.
3．分別過橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點f1、f2作兩條互相垂直的直線l1、l2，它們的交點在橢圓的內部，則橢圓的離心率的取值範圍是( )
a．(0,1b.
cd.[答案] b
[解析] 依題意，結合圖形可知以f1f2為直徑的圓在橢圓的內部，∴c2c2，即e2＝<，又∵e>0，∴04．橢圓＋＝1的焦點為f1、f2，橢圓上的點p滿足∠f1pf2＝60°，則△f1pf2的面積是( )
ab.cd.
[答案] a
[解析] 由餘弦定理：|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1|·|pf2|·cos60°＝|f1f2|2.
又|pf1|＋|pf2|＝20，代入化簡得|pf1|·|pf2|＝，
∴s△f1pf2＝|pf1|·|pf2|·sin60°＝.
5．(2010·濟南市模擬)若橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線－＝1的漸近線方程為( )
a．y＝±xb．y＝±2x
c．y＝±4xd．y＝±x
[答案] a
[解析] ∵由橢圓的離心率e＝＝，
∴＝＝，∴＝，故雙曲線的漸近線方程為y＝±x，選a.
6．(文)(2010·南昌市模考)已知橢圓e的短軸長為6，焦點f到長軸的乙個端點的距離等於9，則橢圓e的離心率等於( )
ab.cd.
[答案] a
[解析] 設橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距分別為a、b、c，則由條件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，
又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，
故，∴，∴e＝＝.
(理)(2010·北京崇文區)已知點f，a分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點、右頂點，b(0，b)滿足·＝0，則橢圓的離心率等於( )
ab.cd.
[答案] b
[解析] ∵＝(c，b)，＝(－a，b)，·＝0，
∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，
∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，
∵e>0，∴e＝.
7．(2010·浙江金華)若點p為共焦點的橢圓c1和雙曲線c2的乙個交點，f1、f2分別是它們的左、右焦點．設橢圓離心率為e1，雙曲線離心率為e2，若·＝0，則＋＝( )
a．2b.
cd．3
[答案] a
[解析] 設橢圓的長半軸長為a，雙曲線的實半軸長為a′，焦距為2c，則由條件知||pf1|－|pf2||＝2a′，|pf1|＋|pf2|＝2a，將兩式兩邊平方相加得：
|pf1|2＋|pf2|2＝2(a2＋a′2)，
又|pf1|2＋|pf2|2＝4c2，∴a2＋a′2＝2c2，
∴＋＝＋＝＝2.
8．(2010·重慶南開中學)已知橢圓＋＝1的左右焦點分別為f1、f2，過f2且傾角為45°的直線l交橢圓於a、b兩點，以下結論中：①△abf1的周長為8；②原點到l的距離為1；③|ab|＝；正確結論的個數為( )
a．3b．2
c．1d．0
[答案] a
[解析] ∵a＝2，∴△abf1的周長為|ab|＋|af1|＋|bf1|＝|af1|＋|af2|＋|bf1|＋|bf2|＝4a＝8，故①正確；
∵f2(，0)，∴l：y＝x－，原點到l的距離d＝＝1，故②正確；
將y＝x－代入＋＝1中得3x2－4x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴|ab|＝＝，故③正確．
9．(文)(2010·北京西城區)已知圓(x＋2)2＋y2＝36的圓心為m，設a為圓上任一點，n(2,0)，線段an的垂直平分線交ma於點p，則動點p的軌跡是( )
a．圓b．橢圓
c．雙曲線d．拋物線
[答案] b
[解析] 點p**段an的垂直平分線上，故|pa|＝|pn|，又am是圓的半徑，
∴|pm|＋|pn|＝|pm|＋|pa|＝|am|＝6>|mn|，由橢圓定義知，p的軌跡是橢圓．
(理)f1、f2是橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點，p是橢圓上任一點，過一焦點引∠f1pf2的外角平分線的垂線，則垂足q的軌跡為( )
a．圓b．橢圓
c．雙曲線
d．拋物線
[答案] a
[解析] ∵pq平分∠f1pa，且pq⊥af1，
∴q為af1的中點，且|pf1|＝|pa|，
∴|oq|＝|af2|＝(|pa|＋|pf2|)＝a，
∴q點軌跡是以o為圓心，a為半徑的圓．
10．(文)(2010·遼寧瀋陽)過橢圓c：＋＝1(a>b>0)的左頂點a的斜率為k的直線交橢圓c於另乙個點b，且點b在x軸上的射影恰好為右焦點f，若ab.
cd.[答案] c
[解析] 點b的橫座標是c，故b的座標，已知k∈，∴b.
斜率k＝＝＝＝.
由(理)(2010·寧波餘姚)如果ab是橢圓＋＝1的任意一條與x軸不垂直的弦，o為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，m為ab的中點，則kab·kom的值為( )
a．e－1b．1－e
c．e2－1d．1－e2
[答案] c
[解析] 設a(x1，y1)，b(x2，y2)，中點m(x0，y0)，
由點差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，∴kab·kom＝·＝＝＝e2－1.故選c.
二、填空題
11．(文)過橢圓c：＋＝1(a>b>0)的乙個頂點作圓x2＋y2＝b2的兩條切線，切點分別為a，b，若∠aob＝90°(o為座標原點)，則橢圓c的離心率為________．
[答案]
[解析] 因為∠aob＝90°，所以∠aof＝45°，所以＝，所以e2＝＝＝1－＝，即e＝.
(理)(2010·揭陽市模擬)若橢圓＋＝1(a>b>0)與曲線x2＋y2＝a2－b2無公共點，則橢圓的離心率e的取值範圍是________．
[答案]
[解析] 易知以半焦距c為半徑的圓在橢圓內部，故b>c，∴b2>c2，即a2>2c2，
∴<.
12．(2010·南充市)已知△abc頂點a(－4,0)和c(4,0)，頂點b在橢圓＋＝1上，則
[答案]
[解析] 易知a，c為橢圓的焦點，故|ba|＋|bc|＝2×5＝10，又ac＝8，由正弦定理知，
＝＝.13．(文)若右頂點為a的橢圓＋＝1(a>b>0)上存在點p(x，y)，使得·＝0，則橢圓離心率的範圍是________．
[答案] [解析] 在橢圓＋＝1上存在點p，使·＝0，即以oa為直徑的圓與橢圓有異於a的公共點．
以oa為直徑的圓的方程為x2－ax＋y2＝0與橢圓方程b2x2＋a2y2＝a2b2聯立消去y得
(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
將a2－b2＝c2代入化為(x－a)(c2x－ab2)＝0，
∵x≠a，∴x＝，由題設即e>，∵0(理)已知a(4,0)，b(2,2)是橢圓＋＝1內的點，m是橢圓上的動點，則|ma|＋|mb|的最大值是________．
[答案] 10＋2
[解析] 如圖，直線bf與橢圓交於m1、m2.
任取橢圓上一點m，則|mb|＋|bf|＋|ma|≥|mf|＋|ma|＝2a
＝|m1a|＋|m1f|＝|m1a|＋|m1b|＋|bf|
∴|mb|＋|ma|≥|m1b|＋|m1a|＝2a－|bf|.
同理可證|mb|＋|ma|≤|m2b|＋|m2a|＝2a＋|bf|，
10－2≤|mb|＋|ma|≤10＋2.
14．(文)已知實數k使函式y＝coskx的週期不小於2，則方程＋＝1表示橢圓的概率為________．
[答案]
[解析] 由條件≥2，∴－π≤k≤π，
當0∴概率p＝.
(理)(2010·深圳市調研)已知橢圓m：＋＝1(a>0，b>0)的面積為πab，m包含於平面區域ω：內，向ω內隨機投一點q，點q落在橢圓m內的概率為，則橢圓m的方程為________．
[答案] ＋＝1
[解析] 平面區域ω：是乙個矩形區域，如圖所示，
依題意及幾何概型，可得＝，
即ab＝2.
因為0所以a＝2，b＝.
所以，橢圓m的方程為＋＝1.
三、解答題
15．(文)(2010·山東濟南市模擬)已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)的長軸長為4.
(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y＝x＋2相切，求橢圓c的焦點座標；
(2)若點p是橢圓c上的任意一點，過焦點的直線l與橢圓相交於m，n兩點，記直線pm，pn的斜率分別為kpm、kpn，當kpm·kpn＝－時，求橢圓的方程．
[解析] (1)∵圓x2＋y2＝b2與直線y＝x＋2相切，
∴b＝，得b＝.
又2a＝4，∴a＝2，a2＝4，b2＝2，
c2＝a2－b2＝2，∴兩個焦點座標為(，0)，(－，0)．
(2)由於過原點的直線l與橢圓相交的兩點m，n關於座標原點對稱，
不妨設：m(x0，y0)，n(－x0，－y0)，p(x，y)，
由於m，n，p在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，
即有＋＝1，＋＝1.
兩式相減得：＝－.
由題意可知直線pm、pn的斜率存在，則
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