一、選擇題
1．已知an＝，數列的前n項和為sn，已計算得s1＝－1，s2＝－1，s3＝1，由此可猜想sn＝( )
a.－1
b.－1
c.－2
d.－2
[答案] b
2．已知sk＝＋＋＋…＋(k＝1,2,3，…)，則sk＋1等於( )
a．sk＋
b．sk＋－
c．sk＋－
d．sk＋＋
[答案] c
[解析] sk＋1sk＋－.
3．對於不等式≤n＋1(n∈n*)，某人的證明過程如下：
1°當n＝1時，≤1＋1，不等式成立.
2°假設n＝k(k∈n*)時不等式成立，即∴當n＝k＋1時，不等式成立.
上述證法( )
a．過程全都正確
b．n＝1驗得不正確
c．歸納假設不正確
d．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
[答案] d
[解析] 沒用歸納假設．
4．將正整數排成下表：
12 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
… …則在表中數字2010出現在( )
a．第44行第75列
b．第45行第75列
c．第44行第74列
d．第45行第74列
[答案] d
[解析] 第n行有2n－1個數字，前n行的數字個數為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行．
又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89個數字，∴2010在第89－15＝74列，選d.
5．設f(x)是定義在正整數集上的函式，且f(x)滿足：「當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立」．那麼，下列命題總成立的是( )
a．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立
b．若f(5)≥25成立，則當k≤5時，均有f(k)≥k2成立
c．若f(7)<49成立，則當k≥8時，均有f(k)>k2成立
d．若f(4)＝25成立，則當k≥4時，均有f(k)≥k2成立
[答案] d
[解析] 對於a，f(3)≥9，加上題設可推出當k≥3時，均有f(k)≥k2成立，故a錯誤．
對於b，要求逆推到比5小的正整數，與題設不符，故b錯誤．
對於c，沒有奠基部分，即沒有f(8)≥82，故c錯誤．
對於d，f(4)＝25≥42，由題設的遞推關係，可知結論成立，故選d.
6．乙個正方形被分成九個相等的小正方形，將中間的乙個正方形挖去，如圖(1)；再將剩餘的每個正方形都分成九個相等的小正方形，並將中間的乙個挖去，得圖(2)；如此繼續下去……則第n個圖共挖去小正方形( )
a．(8n－1)個
b．(8n＋1)個
c. (8n－1)個
d. (8n＋1)個
[答案] c
[解析] 第1個圖挖去1個，第2個圖挖去1＋8個，第3個圖挖去1＋8＋82個……第n個圖挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝個．
7．觀察下式：
1＋3＝22
1＋3＋5＝32
1＋3＋5＋7＝42
1＋3＋5＋7＋9＝52
……據此你可歸納猜想出的一般結論為( )
a．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈n*)
b．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝n2(n∈n*)
c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝(n＋1)2(n∈n*)
d．1＋3＋5＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)2(n∈n*)
[答案] d
[解析] 觀察可見第n行左邊有n＋1個奇數，右邊是(n＋1)2，故選d.
8．(2010·天津濱海新區五校)若f(x)＝f1(x)＝，fn(x)＝fn－1[f(x)](n≥2，n∈n*)，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝( )
a．nb. c.
d．1[答案] a
[解析] 易知f(1)＝，f(2)＝，f(3)＝，…，f(n)＝；由fn(x)＝fn－1(f(x))得，f2(x)＝，f3(x)＝，…，fn(x)＝，從而f1(1)＝，f2(1)＝，f3(1)＝，…，fn(1)＝，，
所以f(n)＋fn(1)＝1，故f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＋f1(1)＋f2(1)＋…＋fn(1)＝n.
9．(2010·曲阜一中)設f(x)是定義在r上恆不為零的函式，且對任意的實數x，y∈r，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈n*)，則數列的前n項和sn的取值範圍是( )
a．[，2)
b．[，2]
c．[，1]
d．[，1)
[答案] d
[解析] 由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝f 2(1)＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝f 3(1)＝3，…，an＝f(n)＝f n(1)＝n，∴sn＝＋2＋3＋…＋n＝＝1－()n，
∵n∈n*，∴≤sn<1.
10．如圖，一條螺旋線是用以下方法畫成的：△abc是邊長為1的正三角形，曲線ca1、a1a2，a2a3是分別以a、b、c為圓心，ac、ba1、ca2為半徑畫的圓弧，曲線ca1a2a3稱為螺旋線旋轉一圈．然後又以a為圓心，aa3為半徑畫圓弧……這樣畫到第n圈，則所得螺旋線的長度ln為( )
a．(3n2＋n)π
b．(3n2－n＋1)π
c.d. [答案] a
[解析] 由條件知，，，…，an－1an對應的中心角都是，且半徑依次為1,2,3,4，…，故弧長依次為，×2，×3…，據題意，第一圈長度為(1＋2＋3)，第二圈長度為(4＋5＋6)，第n圈長度為[(3n－2)＋(3n－1)＋3n]，故ln＝(1＋2＋3＋…＋3n)＝·＝(3n2＋n)π.
二、填空題
11．(2010·浙江金華十校模考)已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t均為正實數)，模擬以上等式，可推測a，t的值，則a＋t
[答案] 41
[解析] 注意分數的分子、分母與整數的變化規律，2→分子2，分母3＝22－1,3→分子3，分母8＝32－1,4→分子4，分母15＝42－1，故猜想a＝6，t＝62－1＝35，再驗證＝6成立，∴a＋t＝41.
[點評] 一般地，＝＝n，(n∈n*)成立．
例如，若＝15成立，則t＋a＝239.
12．考察下列一組不等式：將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式為
[答案] am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)
13．(2010·浙江杭州質檢)觀察下列等式：
(x2＋x＋1)0＝1；
(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；
(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；
(x2＋x＋1)3＝x6＋3x5＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；
可以推測(x2＋x＋1)4的展開式中，係數最大的項是________．
[答案] 19x4
[解析] 觀察其係數變化規律：
(x2＋x＋1)1為1,1,1
(x2＋x＋1)2為1,2,3,2,1
(x2＋x＋1)3為1,3,6,7,6,3,1
故由此可推測(x2＋x＋1)4係數中最大的為6＋7＋6＝19，故係數最大項是19x4.
14．(2010·南京調研)五位同學圍成一圈依次迴圈報數，規定：第一位同學首次報出的數為2，第二位同學首次報出的數為3，之後每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出數的乘積的個位數字，則第2010個被報出的數為________．
[答案] 4
[解析] 根據規則，五位同學第一輪報出的數依次為2,3,6,8,8，第二輪報出的數依次為4,2,8,6,8，第三輪報出的數依次為8,4,2,8,6，故除第
一、第二位同學第一輪報出的數為2,3外，從第三位同學開始報出的數依次按6,8,8,4,2,8迴圈，則第2010個被報出的數為4.
[點評] 數字2010比較大，不可能乙個乙個列出數到第2010個數，故隱含了探尋其規律性(週期)的要求，因此可通過列出部分數，觀察是否存在某種規律來求解．明確了這一特點解決這類問題就有了明確的解題方向和思路．
三、解答題
15．已知點列an(xn,0)，n∈n*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，a3是線段a1a2的中點，a4是線段a2a3的中點，…an是線段an－2an－1的中點，…，
(1)寫出xn與xn－1、xn－2之間的關係式(n≥3)；
(2)設an＝xn＋1－xn，計算a1，a2，a3，由此推測數列的通項公式，並加以證明．
[解析] (1)當n≥3時，xn＝.
(2)a1＝x2－x1＝a，
a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，
a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)＝a，
由此推測an＝(－)n－1a(n∈n*)．
證法1：因為a1＝a>0，且
an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－an－1(n≥2)，
所以an＝(－)n－1a.
證法2：用數學歸納法證明：
(1)當n＝1時，a1＝x2－x1＝a＝(－)0a，公式成立．
(2)假設當n＝k時，公式成立，即ak＝(－)k－1a成立．那麼當n＝k＋1時，
ak＋1＝xk＋2－xk＋1＝－xk＋1＝－(xk＋1－xk)＝－ak＝－(－)k－1a＝(－)(k＋1)－1a，公式仍成立，根據(1)和(2)可知，對任意n∈n*，公式an＝(－)n－1a成立．
16．設數列的前n項和為sn，對一切n∈n*，點都在函式f(x)＝x＋的圖象上．
(1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表示式，並用數學歸納法證明；
(2)將數列依次按1項、2項、3項、4項迴圈地分為(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前後順序構成的數列為，求b5＋b100的值．
[分析] (1)將點的座標代入函式f(x)＝x＋中，通過整理得到sn與an的關係，則a1，a2，a3可求；
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五 數學歸納法 歸納是一種有特殊事例匯出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分物件具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部物件後歸納得出結論來。數學歸納法...
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