1．數學歸納法用於證明乙個「關於正自然數n的命題對於從正自然數n0開始的所有正自然數n都成立」的問題。
2．能根據f(k)正確寫出f(k+1),並能指出f(k)與f(k+1)之間的關係，這往往是運用數學歸納法的最關鍵的一步。
[舉例1]已知，則=
ab．++，
cd．+-
解析：是從n+1開始的n個連續自然數的倒數和，故是從n+2開始的n+1個連續自然數的倒數和，即
===++-
=+- 故選d。
[舉例2]用數學歸納法證明「5n－2n能被3整除」的第二步中，n=k+1時，為了使用歸納假設，應將5k+1－2k+1變形為
[解析]假設n=k時命題成立.即:5k－2k 被3整除.當n=k+1時，5k+1－2 k+1 =5×5k－2×2 k
=5(5k－2k) ＋5×2k－2×2k=5(5k－2k) ＋3×2k
[鞏固1] 用數學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的代數式的個數是_____。
a. 2 b. 2－1 c. 2 d. 2＋1
[鞏固2]用數學歸納法證明命題：
(n＋1) ×(n＋2) ×…×(n＋n)=2n×1×3×…×(2n－1)
3．數學歸納法公理：如果關於自然數n 的乙個命題p(n)滿足下列條件 (1) p(n0)成立,即當n=n0時,命題成立，(2) 假設p(k)成立,則p (k+1)也成立；根據(1)(2)知命題p(n)對n≥n0的所有自然數n都成立。用數學歸納法證明問題的過程實質上是乙個遞推的過程，（1）是遞推的基礎，（2）是遞推的條件；二者缺一不可。
4．數學歸納法通常用於證明關於自然數n的等式、不等式、整除性等。用「歸納假設」即命題p(k)成立證明命題 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求證p(k+1)成立）是數學歸納法證明中最關鍵的一步；而明晰命題p(k)與命題 p(k+1)之間的關係又是實現這一步的前提。
[舉例1] 已知為正整數，用數學歸納法證明：當時，；
解析：視為關於的不等式，為引數，以下用數學歸納法證明：
（ⅰ）當時，原不等式成立；當時，左邊，右邊，
因為，所以左邊右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設當時，不等式成立，即，則當時，
，，於是在不等式兩邊同乘以得
，所以．即當時，不等式也成立．
綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數，不等式都成立．
[舉例2]設正整數數列滿足：，且對於任何，有
；（1）求，；（2）求數列的通項．
（07高考江西理22）
解析：（1）據條件得 ①
當時，由，即有，
解得．因為為正整數，故．
當時，由，解得，所以．
（2）由，，，猜想：．
下面用數學歸納法證明．
1當，時，由（1）知均成立；
2假設成立，則，則時
由①得因為時，，所以．
，所以．又，所以．
故，即時，成立．由1，2知，對任意，．
[鞏固1]已知數列，，…，，…；s為其前n項和，求s、s、s、s，推測s，並用數學歸納法證明。
[鞏固2] 已知各項均為正數的數列的前項和滿足，且，．（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）設數列滿足，並記為的前項和，求證：
（07高考重慶理21）
5．若存在，則=，若==0，則一般「約分」（約去含的因式）後再求極限。若=a、=b，則[±]= a±b, =ab, = (b≠0).
[舉例07高考陝西理13）
解析：==，
∴=[鞏固1] 下列四個命題中，不正確的是（ ）[**:學+科+網z+x+x+k]
a．若函式在處連續，則
b．函式的不連續點是和
c．若函式，滿足，則
d． （07高考湖南理7）
[鞏固2
6．若||<1,則=0；=1，則=1；若》1或≤-1, 則不存在。
=(為常數)；「 」型的式子極限為0；「」型、「」型的極限不存在；「」型和「」型，一般分子、分母「同除以」乙個式子（包括「約分」）後再求極限；含有根式的和（差）的式子一般有理化後再求極限。若=a、=b，則 (±)= a±b, ()=ab, = (b≠0).
[舉例1]若
解析：分母有理化
][舉例2]已知和是兩個不相等的正整數，且，則（ ）
a．0b．1cd． （07高考湖北理5）
解析：===，選c。
[鞏固1]把展開成關於的多項式，其各項係數和為，則等於（ ）
abcd．2]
[鞏固2]. 等於 ( )
a. 1 b. c. d.0
[遷移]設正數滿足，則（ ）
07高考重慶理8）
7．無窮數列{}的前n項和為sn，稱為數列{}的無窮多項和或所有項和。求時，切不可分別求各項的極限後再求和；必須先求sn，再求極限。若{}為等比數列，公比為q且|q|<1，則=。
[舉例1]若數列滿足: , 且對任意正整數都有, 則
（07高考湖南理2）
abcd．
解析：數列滿足: , 且對任意正整數都有，，∴數列是首項為，公比為的等比數列。，選a.
[鞏固2]如圖，拋物線與軸的正半軸交
於點，將線段的等分點從左至右依次記為
，過這些分點分別作軸的垂線，
與拋物線的交點依次為，從而得到個直角三角形．當時，這些三角形的面積之和的極限為
解析記的面積為sn，則s1=，s2=
，…，sn-1=; =
===.
[鞏固1]數列｛｝的前n項和為sn，則sn
[鞏固2] 如圖，等邊三角形abc的面積等於1，鏈結這個三角形各邊的中
點得到乙個小三角形，又鏈結這個小三角形各邊的中點得到乙個更小的
三角形，如此無限繼續下去，求所有這些三角形的面積的和.
[鞏固3
答案2、[鞏固1]c；4、[鞏固1] s＝，[鞏固2] ，
5、[鞏固1]c，[鞏固2]；6、[鞏固1] d，[鞏固2] b，[遷移] b；7、[鞏固1] ，
[鞏固2]，[鞏固3] -1
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