2011屆高三數學精品複習之不等式的性質與證明
1．在不等式兩邊非負的條件下能同時平方或開方，具體的：當a>0,b>0時，a>ban>bn；
當a<0,b<0時，a>ba2b2|a|>|b|。在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數，但不等號的方向要改變，如：由<2推得的應該是：x>或x<0，而由》2推得的應該是：
0[舉例]若=,則的值域為的值域為
解析：此題可以「逆求」：分別用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。
以下用「取倒數」求：3-f(x)<3，分兩段取倒數即0<3-f(x)<3得》或3-f(x)<0得<0,
∴g(x)∈(-,0)∪(,+)；f(x)+3>30<<1[鞏固1] 若，則下列不等式①；②③；④中，正確的不等式有
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
[鞏固2] 下列命題：①若a>b,則ac2>bc2；②若ac2>bc2,則a>b；③若a>b,c>d則a-d>b-c；
④若a>b,則a3>b3；⑤若a>b,則⑥若aab>b2；
⑦若a|b|；⑧若ab且,則a>0,b<0；
⑩若c>a>b>0,則；其中正確的命題是 。
[遷移]若a>b>c且a+b+c=0，則：①a2>ab，②b2>bc，③bc⑤的取值範圍是：（-2，-）。上述結論中正確的是
2．同向不等式相加及不等式的「傳遞性」一般只用於證明不等式，用它們求變數範圍時要求兩個不等式中的等號能同時成立。同向不等式一般不能相乘，需增加「兩不等式的兩邊均為正數」才可相乘。
[舉例]已知函式，且滿足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,則f(3)的取值範圍是：
。解析：解決本題的乙個經典錯誤如下：－2≤a+c≤－12≤4a+c≤3 ②
由①得： 1≤－a－c≤24≤－4a－4c≤8 ④
由③+②得：1≤a由④+②得： ≤c≤－2 ⑥
由⑤×9+⑥得：≤9a+c≤13 ⑦，即≤f(3)≤13。錯誤的原因在於：
當且僅當1=－a－c且2=4a+c時⑤式中的1=a成立，此時，a=1，c=－2；
當且僅當－4a－4c=8 且4a+c=3 時⑥式中的=c成立，此時，a=，c=；
可見⑤⑥兩式不可能同時成立，所以⑦中的=9a+c不成立；同理，9a+c=13也不成立。
正解是待定係數得f(3)=f(1)+f(2)，又：≤f(1)≤；≤f(2)≤8
∴7≤f(3)≤。在此過程中雖然也用了「同向不等式相加」，但由錯解分析知：當a=1，
c=－2時，不等式≤f(1)和≤f(2)中的等號同時成立，即f(3)=7成立；而當a=，c=時，不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等號同時成立，即f(3)=成立；所以這個解法是沒有問題的。可見，在求變數範圍時也並非絕對不能用「同向不等式相加」，只要「等號」能同時成立即可；對不含等號的同向不等式相加時則需它們能同時「接近」。
注：本題還可以用「線性規劃」求解：在約束條件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目標函式f(3)的最大、最小值。
[鞏固]設正實數a、b、c、x、y，且a、b、c為常數，x、y為變數，若x+y=c，則+的最大值是：
a． b． c． d．
3．關注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號成立的條件；具體的：xy≥0
|x+y|=|x|+|y|；xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|；xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|；[**:學*科*網]
xy≤0|x-y|=|x|+|y|；xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|；xy≤0且|x|≤|y|
|x+y|=|y|-|x|。
[舉例1]若m>0,則|x-a|a．充分而不必要條件， b．必要而不充分條件
c．充要條件d．既不是充分條件也不是必要條件。
解析：|x-a||x-y|=7<2m,但|x-a|=7>m,∴|x-a|[舉例2]不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集為
解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等價於：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|2xlog2x>0
log2x>0x>1 ∴不等式的解集為（1，+)。
[鞏固1]a,b都是非零實數，下列四個條件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；
③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；則與|a-b|=|a|+|b|等價的條件是填條件序號）。
[鞏固2]方程||=|+||的解集是 。
4．若、∈r+，則≥≥≥；當且僅當=時等號成立；
其中包含常用不等式：≥；≥4以及基本不等式：
≥，基本不等式還有另外兩種形式：若≤0、≤0，則≤；
若：、∈r，則≥2；用基本不等式求最值時要關注變數的符號、放縮後是否為定值、等號能否成立（即：一正、二定、三相等，積定和小、和定積大）。[**:學科網zxxk]
[舉例1] 若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長，則的最小值為 。
解析：圓心（2，1），「直線始終平分圓」即圓心在直線上，∴a+b=1,
=,當且僅當a=b=時等號成立。
[舉例2]正數a,b滿足a+3=b(a-1),則ab的最小值是 ，a+b的最大值是
解析：ab=a+b+3≥2+3-2-3≥0≥3≥9，當且僅當a=b=3時等號成立。a+b=ab-3≤-3 a+b≥6, 當且僅當a=b=3時等號成立。
注：該方法的實質是利用基本不等式將等式轉化為不等式後，解不等式；而不是直接用基本不等式放縮得到最值，因此不存在放縮後是否為定值的問題。
[鞏固1]在等式中填上兩個自然數，使它們的和最小。
[鞏固2]某工廠第一年年產量為a，第二年的年增長率為，第三年的年增長率為，這兩年的平均增長率為，則
a． b． c． d．
[遷移]甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半時間步行、一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則：[**:學.科.網]
a．甲先到教室 b．乙先到教室 c．兩人同時到教室 d．不能確定誰先到教室[**
5．比較大小的方法有：①比差：判斷「差」的正負，因式分解往往是關鍵；②比商：
判斷「商」與1的大小，兩個式子都正才能比商，常用於指數式的比較；③變形：如平方（需為正數）、有理化（根式的和、差）等；④尋求中間變數，常見的有0，1等；⑤數形結合。
用定義證明單調性的過程就是已知自變數的大小比較函式值的大小的過程。
[舉例1]已知且，若則、的大小關係是（ ）
a． b． c． d．
解析：記x=, y=()2, 直接比較x、y的大小將大費周章，但： x>=1,
y==，∴x>y，又0[舉例2] x0是x的方程ax=logax(0解析：顯然方程ax=logax不能用代數方法
研究。分別作函式y=ax及y=logax的圖象
如右，它們的交點為p（x0，y0）,易見
x0<1, y0 <1，而y0==logax0
即logax0<1,又0a,
即a[鞏固1]、、的大小關係是
[鞏固2]設a>2，p=,q=,則：[**:學§科§網z§x§x§k]
a．p>q b．pq與p=q都有可能 d．p>q與p[遷移] 設定義在r上的函式f(x)滿足：①對任意的實數x,y∈r,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②當x>0時,f(x)>1；判斷並證明函式f(x)的單調性。
6．放縮法的方法有：①新增或捨去一些項，如：；[**:學_科_網z_x_x_k]
②將分子或分母放大（或縮小）；③利用基本不等式，如：
；等；④利用常用結論：下列各式中
[舉例]已知a、b、c是⊿abc的三邊長，a=,b=,則：
a．a>b, b． a解析：b==<==<=a[**:z§xx§
[鞏固]若n∈n﹡,求證：
[**[**:z&xx&
簡答1．[鞏固1]b，[鞏固2遷移] ①③④⑤；2、[鞏固]a；3、[鞏固1] ①④，
[鞏固2]（-1，0∪[2, +);4、[鞏固1]4，12；[鞏固2]b，[遷移]b；
5、[鞏固1] <<,[鞏固2]a，[遷移]遞增；6、[鞏固]有理化，[遷移]放縮：。
高中數學知識要點重溫之 11 不等式的性質與證明
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要點重溫之不等式的性質與證明 江蘇鄭邦鎖 1 在不等式兩邊非負的條件下能同時平方或開方，具體的 當a 0,b 0時，a ban bn 當a 0,b 0時，a ba2b2 a b 在不等式兩邊同號的條件下能同時取倒數，但不等號的方向要改變，如 由 2推得的應該是 x 或x 0，而由 2推得的應該是 0...