9.如圖所示，在△abc中，∠acb = 90，cd是ab邊上的高線，
圖中與∠a互餘的角有（ ）
a. 0個 b. 1個 c. 2個 d. 3個
10.已知δabc中．ab = ac．∠a=50，p為δabc內一點，且∠pbc=∠pca，那麼∠bpc等於（ ），
a.100 b.115 c.130 d.65
11.若△abc的邊bc的垂直平分線經過頂點a，與bc相交於點d,且ab＝2ad，則△abc中必有乙個內角的度數為（ ） a.45 b.
60 c.90 d.120
12.如圖所示，在△abc中，ab＝ac，ad是△abc的角平分線，de⊥ab，df⊥ac，垂足分別為e, f.則下列四個結論：
①ad上任意一點到點c，b的距離相等； ②ad上任意一點到邊ab ．ac的
距離相等：③ bd＝cd ．ad⊥bc： ④∠bde＝∠cdf. 其中，
正確的個數為a. 1個b. 2個 c.3個 d. 4個
13.逆命題「兩直線平行，同旁內角互補」的原命題是（ ）
a.兩直線平行，同位角相等b.兩直線平行，內錯角相等
c.同旁內角互補，兩直線平行d.同位角相等，兩直線平行
14.若乙個三角形兩邊的垂直平分線的交點在第三邊上，則這個三角形是（ ）
a.銳角三角形b.鈍角三角形c.直角三角形d.任意三角形
15.如圖，△abc中，ab=ac，∠bac=120，ad⊥bc於d，
de⊥ab於e，若ab=20cm，則de的長為（ ）
a.10cm b.5cmc.10√3cm d.5√3cm
16. 2023年8月在北京召開的國際數學家大會會標取材於我國古代數學家趙爽的
《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的乙個
大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1
，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那麼的值為（ ）．
（a）13（b）19（c）25 （d）169
二、填空題(3分*8=24分)
1.如圖所示，正六邊形defghi的頂點都在邊長為6cm的正三角形abc的邊上，
則這個正六邊形的邊長是________cm.
2.如果等腰三角形的乙個底角是80，那麼頂角是_________度．
3.三角形的三個角的度數之比為1:2:3，最小邊長是5cm，則最長邊長為
4.在方格紙上有乙個δabc，它的頂點位置如圖所示，則這個三角形是三角形．
5.如圖所示，已知∠abd＝∠c=90，ad=12，ac=bc，∠dab = 30，則bc
6.δabc中，∠c=90，∠b=15，ab的中垂線交bc於d，若bd=4cm，則ac
7.若等邊三角形的高為2cm，則其邊長為
8.如圖：已知ad=db=bc，∠c=250，則∠ade=＿＿＿＿＿度.
三、作圖題(5分+4分)
1.已知：線段m和∠α如圖所示．求作：等腰△abc，使∠bac＝∠α，高線ad＝m。
2.如圖，求作一點p使pc=pd，並且使點p到∠aob的兩邊的距離相等.
四、解答題
1.如圖，d是△abc中∠abc和∠acb的平分線交點，過d作與bc平行的直線，分別交ab、ac於e、f，求證：eb＋fc＝ef.（5分）
2.如圖，已知ad為δabc的高，e為ac上一點，be交ad於f，且有bf=ac，fd=cd，求證：be⊥ac．（6分）
3.如圖，在三角形abc中，ab=ac=9cm ，∠bac=120，ad是δabc的中線，ae是∠bad的平分線，df∥ab ，交ae的延長線於f，求df的長。（6分）
4．如圖，△def中，de=df，過ef上一點a作直線分別與de、df的延長線交於點b, c,且be=cf，求證：ab＝ac．（8分）
證明：過b作bg∥cd交ef於gbg=cf
∴∠egb=∠efdbg∥cd
∵de＝dfgba=∠acf
agb=∠afc
agb≌△afc
∴be=bgab=ac
∵be=cf
閱讀後回答問題
(1)試在上述過程的橫線上填寫恰當的步驟．
(2)上述證明過程還有別的輔助線作法嗎？若有，試說出一種
(3)如圖,若de＝df，ab=ac，則be、cf之間有何關係
(4)如圖,若ab＝ac，be＝cf，df=8cm，則de的長為
是△abc邊bc上兩點，且bp=pq=qc=ap=aq，求∠bac的度數；
６.：如圖，ce⊥ab，bf⊥ac，ce與bf相交於d，且bd=cd.
求證：d在∠bac的平分線上.
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