§13數學歸納法
1．數學歸納法的基本形式
（1）第一數學歸納法
設是乙個與正整數有關的命題，如果
①當（）時，成立；
②假設成立，由此推得時，也成立，那麼，根據①②對一切正整數時，成立．
（2）第二數學歸納法
設是乙個與正整數有關的命題，如果
①當（）時，成立；
②假設成立，由此推得時，也成立，那麼，根據①②對一切正整數時，成立．
2．數學歸納法的其他形式
（1）跳躍數學歸納法
①當時，成立，
②假設時成立，由此推得時，也成立，那麼，根據①②對一切正整數時，成立．
（2）反向數學歸納法
設是乙個與正整數有關的命題，如果
①對無限多個正整數成立；
②假設時，命題成立，則當時命題也成立，那麼根據①②對一切正整數時，成立．
3．應用數學歸納法的技巧
（1）起點前移：有些命題對一切大於等於1的正整數正整數都成立，但命題本身對也成立，而且驗證起來比驗證時容易，因此用驗證成立代替驗證，同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以．因而為了便於起步，有意前移起點．
（2）起點增多：有些命題在由向跨進時，需要經其他特殊情形作為基礎，此時往往需要補充驗證某些特殊情形，因此需要適當增多起點．
（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當可以改變跨度，但注意起點也應相應增多．
（4）選擇合適的假設方式：歸納假設為一定要拘泥於「假設時命題成立」不可，需要根據題意採取第
一、第二、跳躍、反向數學歸納法中的某一形式，靈活選擇使用．
（5）變換命題：有些命題在用數學歸納證明時，需要引進乙個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強命題才能滿足歸納的需要，才能順利進行證明．
5．歸納、猜想和證明
在數學中經常通過特例或根據一部分物件得出的結論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴格的推理方法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進一步檢驗或證明，經常採用數學歸納法證明．不完全歸納法是發現規律、解決問題極好的方法．
例題講解
1．用數學歸納法證明：
（）2．已知對任意，，且，求證：．
3．如果正整數不是6的倍數，則不是7的倍數．
4．設都是正數，證明．
5．已知函式的定義域為，對於區間內的任意兩數均有．求證：對於任意，均有
．6．試證：對一切大於等於1的自然數都有
．7．試證：對一切自然數（）都有．
8．證明：任一正方形可以剖分成任意個數多於5個的正方形．
9．設，，，求證：對一切均有
10．已知，，求證：對一切，都是整數．
11．設，是否存在關於正整數的函式使等式對於的一切自然數都成立？並證明你的結論．
12．設整數數列滿足，，，且．證明：任意正整數，是乙個整數的平方．
課後練習
1．證明時，能被31整除．
2．設不小於6的自然數，證明：可以將乙個正三角形分成個較小的正三角形．
3．用數學歸納法證明：
4．設為自然數，求證：．
5．對於自然數（），求證：．
6．已知，，求證：對於一切，是整數．
7．設有個球分成了許多堆，我們可以任意選甲、乙兩堆來按照以下規則挪動：若甲戴盆望天的球數不小於乙堆的球數，則從甲堆拿個球放堆乙堆，這樣算是挪動一次．證明：可以經過有限次挪動把所有的球合併成一堆．
8．已知數列滿足：，，（），試證：．
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