試題參***及評分標準
說明：1． 評閱試卷時，請依據本評分標準。選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設9分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準規定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次。
2． 如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，5分為乙個檔次，不要再增加其他中間檔次。
一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）
本題共有6小題，每小題均給出a，b，c，d四個結論，其中有且僅有乙個是正確的。請將正確答案的代表字母填在題後的括號內。每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過乙個（不論是否寫在括號內），一律得0分。
1. 已知是方程的兩個根，則 （ ）
abcd.
解原方程變形為，即.
令，則，解得.所以或，所以方程的兩根分別為和，所以. 故選（c）.
2. 設為△的邊上一點，為△內一點，且滿足,
，則abcd.
解連pd，則，所以，故，故
. 故選（a）.
3. 定義在上的函式既是奇函式又是週期函式，若的最小正週期是，且當x∈[0,)時，，則的值為
ab. cd.
解根據題設條件可知
故選（b）.
4. 已知是乙個稜長為1的正方體，是底面的中心，是稜上的點，且，則四面體的體積為
abcd.
解易知平面，設是底面的中心，則平面.
因為，所以，故.於是
，所以. 故選（c）.
5. 有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中取出4個，則取出的球的編號互不相同的概率為
abcd.
解從10個球中取出4個，不同的取法有種.如果要求取出的球的編號互不相同，可以先從5個編號中選取4個編號，有種選法.對於每乙個編號，再選擇球，有兩種顏色可供挑選，所以取出的球的編號互不相同的取法有種.
因此，取出的球的編號互不相同的概率為. 故選（d）.
6. 使得是完全平方數的正整數有
a. 0個b. 1個 c. 2個d. 3個
解當時，易知不是完全平方數.故設，其中為正整數，則.
因為是完全平方數，而81是平方數，則一定存在正整數，使得，即，故都是3的方冪.
又兩個數相差2，所以只可能是3和1，從而.
因此，存在唯一的正整數，使得為完全平方數.故選（b）.
二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）
本題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上。
7. 設表示不大於的最大整數，集合，，則
解不等式的解為，所以.
若，則所以只可能取值.
若，則，沒有實數解；若，則，解得；
若，則，沒有符合條件的解；若，則，沒有符合條件的解；
若，則，有乙個符合條件的解.
因此，.
8. 若數列滿足：，則_______.
解由兩邊平方得，
又，兩式相減，得
.由求得，又由遞推關係式易知數列是單調遞增數列，所以，故，即，即，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以，於是
，所以.
9. 設複數其中，當取得最小值時
解易求得，，於是＝10，取得最小值，當且僅當，解得，所以12.
10. 設，則函式的最小值為
解因為，所以，設，
（1）其中等號成立當且僅當成立，此時，設，則.而
故，注意到，判斷易知滿足限制條件的根只有.
當時，，不等式（1）取得等號.
所以函式的最小值為.
11. 對於函式，存在乙個正數，使得的定義域和值域相同，則非零實數的值為
解若，對於正數，的定義域為，但的值域，故，不合要求.
若，對於正數，的定義域為.
由於此時，故函式的值域.
由題意，有，由於，所以.
12. 已知雙曲線的中心在原點，焦點在座標軸上，點到其漸近線的距離為.若過點作斜率為的直線交雙曲線於兩點，交軸於點，且是與的等比中項，則雙曲線的半焦距為
解設漸近線的方程為，由題設得，解得，雙曲線的漸近線方程為，故可設雙曲線的方程為 .
設，直線的方程為，代入雙曲線方程消去，得.
當，即時，上面的方程恰有兩實根，且.
由題設可知，，可化為，即，即，解得或.
因此，雙曲線的方程為或，即或.
所以雙曲線的半焦距為或.
三、解答題（本題滿分60分，每小題20分）
13. 過點作已知直線的平行線，交雙曲線於點.
（1）證明：點是線段的中點.
（2）分別過點作雙曲線的切線，證明：三條直線相交於同一點.
（3）設為直線上一動點，過點作雙曲線的切線，切點分別為.證明：點在直線ab上.
解 （1）直線的方程為，即，代入雙曲線方程，得.
設，則是方程的兩根，所以，
於是，故點是線段的中點. ………5分
（2）雙曲線的過點的切線方程分別為
，.聯立，得兩式相加，並將，代入，得，這說明直線的交點在直線上，即三條直線相交於同一點10分
（3）設，，則的方程分別為和，因為點在兩條直線上，所以，，這表明點都在直線上，即直線的方程為.
又，代入整理得，顯然，無論取什麼值（即無論為直線上哪一點），點都在直線ab上20分
14. 已知數列滿足遞推關係式：，.
（1）若，證明：（ⅰ）當時，有；（ⅱ）當時，有.
（2）若，證明：當時，有.
證明： 因為，故，即數列為遞增數列.
（1）（ⅰ）由及可求得，於是當時，，於是，即當時，.
5分（ⅱ）由於時，，所以時，.
由可得.
先用數學歸納法證明下面的不等式成立： （）.
ⅰ）當時，，結論成立.
ⅱ）假設結論對成立，即，則結合（ⅰ）的結論可得
，即當時結論也成立.
綜合ⅰ），ⅱ）可知，不等式對一切都成立.
因此，當時， ，即.
又，，所以當時，有.
10分（2）由於，而數列為遞增數列，故當時，有.
由可得，而，於是
.下面先證明：當時，有
ⅰ）根據及計算易得，
，而，故，即當時，結論成立.
ⅱ）假設結論對成立，即.
因為，而函式在時為增函式，所以
，即當時結論也成立.
綜合ⅰ），ⅱ）可知，不等式對一切都成立.
於是當時，，故，所以.
20分15. 求所有的正整數，使得是乙個完全平方數，且除了2或3以外，沒有其他的質因數.
解設，其中，則.
依題意，可設其中均為非負整數，於是
15分如果，則，這是不可能的.所以中至少有乙個大於0，於是和均為偶數，從而均為正整數.
若，則，顯然只可能（否則左右兩邊被4除的餘數不相同），此時，顯然只能是，此時.
10分若，則是4的倍數，從而也是4的倍數，故，此時
2）顯然中至少有乙個應為0（否則（2）式左右兩邊奇偶性不相同）.
1）當，即時3）
此時（否則等式左右兩邊奇偶性不相同），故.
若，則（3）式左邊是9的倍數，而右邊為3，矛盾，故只可能，從而（3）式即，它只有兩組解和即和此時，對應的值分別為24和96，相應的值分別為864和10368. …………………15分
2）當，即時4）
此時顯然（否則等式左右兩邊奇偶性不相同），故.
若，則（4）式左邊是9的倍數，而右邊是3，無解.故.
若，則，只可能，此時.
若，則（4）式即，它只有兩組解和即和此時，對應的值分別為12和36，相應的值分別為288和1728.
因此，符合條件的值有6個，分別為64，108，288，864，1728，10368.20分
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後有答案 7月5日上午8 30 11 00 一.選擇題 本題滿分30分,每小題5分 本題共有6道小題,每小題給出 a b c d 四個結論,其中只有乙個是正確的.請把正確結論的代表字母寫在題後 答 後面的圓括號內.每小題選對得5分,不選,選錯或選出的代表字母超過乙個 不論是否寫在圓括號內 一律得0分...
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