加試模擬訓練題（31）（附詳細答案）
1、 設△abc是等邊三角形，p是其內部一點，線段ap、bp、cp依次交三邊bc、ca、ab於a1、b1、c1三點．證明：a1b1·b1c1·c1a1≥a1b·b1c·c1a．
2.設實數x1，x2，…，x1997滿足條件
3、 在黑板上寫下從1到1988的所有自然數．對這些數依次反覆施行運算a和b：先是a後是b，接著再是a，然後再是b，如此繼續下去．運算a是從每個寫在黑板上的數減去同乙個自然數(對不同次的運算a，減數可以不相同)．運算b是抹去黑板上寫著的兩個數，然後寫下它們的和數．運算a和b如此順次施行，直至某次運算b後，黑板上只留下乙個數，並且它是非負的，問這個數是多少？
加試模擬訓練題（31）
1、 設△abc是等邊三角形，p是其內部一點，線段ap、bp、cp依次交三邊bc、ca、ab於a1、b1、c1三點．
證明：a1b1·b1c1·c1a1≥a1b·b1c·c1a．
【題說】 第三十七屆(2023年)imo預選題．
【證】 由餘弦定理
a1b12＝a1c2＋b1c2－a1c· b1c
≥2a1c·b1c－a1c·b1c
＝a1c·b1c
同理，b1c12≥b1a·c1a，c1a12≥c1b·a1b．
由塞瓦定理得＝1
所以 a1b1·b1c1·c1a1
≥＝a1b·b1c·c1a·
＝a1b·b1c·c1a
2.設實數x1，x2，…，x1997滿足條件
【題說】2023年中國數學奧林匹克題1．
即3x－y＋a＝－9541′)
x＋y＝19962′)
相加得 4x＋a＝1042．從而a＝1042－4x為整數且a≡2(mod 4)．因
最大值189548．
3、 在黑板上寫下從1到1988的所有自然數．對這些數依次反覆施行運算a和b：先是a後是b，接著再是a，然後再是b，如此繼續下去．運算a是從每個寫在黑板上的數減去同乙個自然數(對不同次的運算a，減數可以不相同)．運算b是抹去黑板上寫著的兩個數，然後寫下它們的和數．運算a和b如此順次施行，直至某次運算b後，黑板上只留下乙個數，並且它是非負的，問這個數是多少？
【題說】第十四屆(2023年)全俄數學奧林匹克十年級題3．
【解】施行運算a和b各一次後，黑板上的數就少了乙個．所以運算a和b各施行1987次後，黑板上就留下乙個數．
設施行第k次運算a時，減數為自然數dk，k＝1，2，…，1987．經第k次的運算a後，寫在黑板上的數的和少了(1989－k)dk；而經運算b後，這個和數是不變的．所以運算a和b各施行1987次後，黑板上寫的數是
x＝(1＋2＋…＋1988)－1988d1－1987d2－…－2d1987
＝1988(1－d1)＋1987(1－d2)＋…＋
(1989－k)(1－dk)＋…＋2(1－d1987)＋1
顯然(1989－k)(1－dk)≤0，並且若對某個k，有dk≥2，則
(1989－k)(dk－1)≥2
故 x≤(1989－k)(1－dk)＋1≤－1
與題設矛盾．因此，對一切k＝1，2，…，1987，dk＝1．所以x＝1，即黑板上最後留下的數是1．
全國中學生天文競賽大綱
全國中學生天文奧林匹克競賽考試大綱 第一版 競賽宗旨 1.通過競賽增進考生對天文知識的了解和對天文學思考問題方法的體驗，提高考生對天文學的興趣，逐步推動天文學在中小學的教育和普及。2.發掘國內中小學生中的天文愛好者，並為國內天文人才的培養和高校天文專業的招生提供參考。3.為組隊參加國際天文奧林匹克競...
2023年全國中學生英語能力競賽
2007年全國中學生英語能力競賽 nepcs 初一年級組試題 2007年全國中學生英語能力競賽 nepcs 初一年級組試題 筆試部分 共七大題，計120分 i.選擇填空 multiple choice 共20小題 每小題1分，計20分 從a b c d四個選項中，選出可以填入空白處的最佳選項。ben...
全國中學生高中物理競賽預賽試題分類彙編
力學第16屆預賽題.1.15分 一質量為的平頂小車，以速度沿水平的光滑軌道作勻速直線運動。現將一質量為的小物塊無初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的動摩擦係數為。1.若要求物塊不會從車頂後緣掉下，則該車頂最少要多長？2.若車頂長度符合1問中的要求，整個過程中摩擦力共做了多少功？參考解答 1.物...