力學第16屆預賽題.
1.（15分）一質量為的平頂小車，以速度沿水平的光滑軌道作勻速直線運動。現將一質量為的小物塊無初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的動摩擦係數為。
1. 若要求物塊不會從車頂後緣掉下，則該車頂最少要多長？
2. 若車頂長度符合1問中的要求，整個過程中摩擦力共做了多少功？
參考解答
1. 物塊放到小車上以後，由於摩擦力的作用，當以地面為參考係時，物塊將從靜止開始加速運動，而小車將做減速運動，若物塊到達小車頂後緣時的速度恰好等於小車此時的速度，則物塊就剛好不脫落。令表示此時的速度，在這個過程中，若以物塊和小車為系統，因為水平方向未受外力，所以此方向上動量守恆，即
1）從能量來看，在上述過程中，物塊動能的增量等於摩擦力對物塊所做的功，即
2其中為物塊移動的距離。小車動能的增量等於摩擦力對小車所做的功，即
3）其中為小車移動的距離。用表示車頂的最小長度，則
4）由以上四式，可解得
5）即車頂的長度至少應為。
2．由功能關係可知，摩擦力所做的功等於系統動量的增量，即
6）由（1）、（6）式可得
7）2.（20分）乙個大容器中裝有互不相溶的兩種液體，它們的密度分別為和（）。現讓一長為、密度為的均勻木棍，豎直地放在上面的液體內，其下端離兩液體分介面的距離為，由靜止開始下落。
試計算木棍到達最低處所需的時間。假定由於木棍運動而產生的液體阻力可以忽略不計，且兩液體都足夠深，保證木棍始終都在液體內部運動，未露出液面，也未與容器相碰。
參考解答
1．用表示木棍的橫截面積，從靜止開始到其下端到達兩液體交介面為止，在這過程中，木棍受向下的重力和向上的浮力。由牛頓第二定律可知，其下落的加速度
1）用表示所需的時間，則
2）由此解得
3）2．木棍下端開始進入下面液體後，用表示木棍在上面液體中的長度，這時木棍所受重力不變，仍為，但浮力變為．當時，浮力小於重力；當時，浮力大於重力，可見有乙個合力為零的平衡位置．用表示在此平衡位置時，木棍在上面液體中的長度，則此時有
4）由此可得
5）即木棍的中點處於兩液體交界處時，木棍處於平衡狀態，取一座標係，其原點位於交介面上，豎直方向為軸，向上為正，則當木棍中點的座標時，木棍所受合力為零．當中點座標為時，所受合力為
式中6）
這時木棍的運動方程為
為沿方向加速度
7）由此可知為簡諧振動，其週期8）
為了求同時在兩種液體中運動的時間，先求振動的振幅．木棍下端剛進入下面液體時，其速度
9）由機械能守恆可知
10）式中為此時木棍中心距座標原點的距離，由（1）、（3）、（9）式可求得，再將和（6）式中的代人（10）式得
11）由此可知，從木棍下端開始進入下面液體到棍中心到達座標原點所走的距離是振幅的一半，從參考圓（如圖預解16-9）上可知，對應的為30，對應的時間為。因此木棍從下端開始進入下面液體到上端進入下面液體所用的時間，即棍中心從到所用的時間為
12）3．從木棍全部浸入下面液體開始，受力情況的分析和1中類似，只是浮力大於重力，所以做勻減速運動，加速度的數值與一樣，其過程和1中情況相反地對稱，所用時間
13）4．總時間為
14）第17屆預賽題.
1.（20分）如圖預17-8所示，在水平桌面上放有長木板，上右端是固定擋板，在上左端和中點處各放有小物塊和，、的尺寸以及的厚度皆可忽略不計，、之間和、之間的距離皆為。設木板與桌面之間無摩擦，、之間和、之間的靜摩擦因數及滑動摩擦因數均為；、、（連同擋板）的質量相同．開始時，和靜止，以某一初速度向右運動．試問下列情況是否能發生？
要求定量求出能發生這些情況時物塊的初速度應滿足的條件，或定量說明不能發生的理由．
（1）物塊與發生碰撞；
（2）物塊與發生碰撞（設為彈性碰撞）後，物塊與擋板發生碰撞；
（3）物塊與擋板發生碰撞（設為彈性碰撞）後，物塊與在木板上再發生碰撞；
（4）物塊從木板上掉下來；
（5）物塊從木板上掉下來．
參考解答
1. 以表示物塊、和木板的質量，當物塊以初速向右運動時，物塊受到木板施加的大小為的滑動摩擦力而減速，木板則受到物塊施加的大小為的滑動摩擦力和物塊施加的大小為的摩擦力而做加速運動，物塊則因受木板施加的摩擦力作用而加速，設、、三者的加速度分別為、和，則由牛頓第二定律，有
事實上在此題中，，即、之間無相對運動，這是因為當時，由上式可得
1）它小於最大靜摩擦力．可見靜摩擦力使物塊、木板之間不發生相對運動。若物塊剛好與物塊不發生碰撞，則物塊運動到物塊所在處時，與的速度大小相等．因為物塊與木板的速度相等，所以此時三者的速度均相同，設為，由動量守恆定律得
2）在此過程中，設木板運動的路程為，則物塊運動的路程為，如圖預解17-8所示．由動能定理有
（3）4）或者說，在此過程中整個系統動能的改變等於系統內部相互間的滑動摩擦力做功的代數和（（3）與（4）式等號兩邊相加），即
5）式中就是物塊相對木板運動的路程．解（2）、（5）式，得
6）即物塊的初速度時，剛好不與發生碰撞，若，則將與發生碰撞，故與發生碰撞的條件是
7）2. 當物塊的初速度滿足（7）式時，與將發生碰撞，設碰撞的瞬間，、、三者的速度分別為、和，則有
8）在物塊、發生碰撞的極短時間內，木板對它們的摩擦力的衝量非常小，可忽略不計。故在碰撞過程中，與構成的系統的動量守恆，而木板的速度保持不變．因為物塊、間的碰撞是彈性的，系統的機械能守恆，又因為質量相等，由動量守恆和機械能守恆可以證明（證明從略），碰撞前後、交換速度，若碰撞剛結束時，、、三者的速度分別為、和，則有
由（8）、（9）式可知，物塊與木板速度相等，保持相對靜止，而相對於、向右運動，以後發生的過程相當於第1問中所進行的延續，由物塊替換繼續向右運動。
若物塊剛好與擋板不發生碰撞，則物塊以速度從板板的中點運動到擋板所在處時，與的速度相等．因與的速度大小是相等的，故、、三者的速度相等，設此時三者的速度為．根據動量守恆定律有
10）以初速度開始運動，接著與發生完全彈性碰撞，碰撞後物塊相對木板靜止，到達所在處這一整個過程中，先是相對運動的路程為，接著是相對運動的路程為，整個系統動能的改變，類似於上面第1問解答中（5）式的說法．等於系統內部相互問的滑動摩擦力做功的代數和，即
11）解（10）、（11）兩式得
12）即物塊的初速度時，與碰撞，但與剛好不發生碰撞，若，就能使與發生碰撞，故與碰撞後，物塊與擋板發生碰撞的條件是13）
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