第22屆全國中學生物理競賽預賽題試卷
1．在2023年6月10日聯合國大會第58次會議上，鼓掌通過一項決議。決議摘錄如下：
聯合國大會，
承認物理學為了解自然界提供了重要基礎，
注意到物理學及其應用是當今眾多技術進步的基石，
確信物理教育提供了建設人類發展所必需的科學基礎設施的工具，
意識到2023年是愛因斯坦科學發現一百周年，這些發現為現代物理學奠定了基礎，
． ……；
． ……；
．宣告2023年為年．
2．愛因斯坦在現代物理學領域作出了很多重要貢獻，試舉出其中兩項：
二、（17分）現有乙個彈簧測力計（可隨便找地方懸掛），一把勻質的長為l的有刻度、零點位於端點的直尺，乙個木塊及質量不計的細線．試用這些器件設計一實驗裝置（要求畫出示意圖），通過一次測量（彈簧測力計只准讀一次數），求出木塊的質量和尺的質量．（已知重力加速度為g）
三、（18分）內表面只反射而不吸收光的圓筒內有一半徑為r的黑球，距球心為2r處有一點光源s，球心o和光源s皆在圓筒軸線上，如圖所示．若使點光源向右半邊發出的光最後全被黑球吸收，則筒的內半徑r最大為多少？
四、（20分）處在激發態的氫原子向能量較低的狀態躍遷時會發出一系列不同頻率的光，稱為氫光譜．氫光譜線的波長λ 可以用下面的巴耳末—里德伯公式來表示
n，k分別表示氫原子躍遷前後所處狀態的量子數．，對於每乙個k，有，r稱為里德伯常量，是乙個已知量．對於的一系列譜線其波長處在紫外線區，稱為賴曼系；的一系列譜線其波長處在可見光區，稱為巴耳末系．
用氫原子發出的光照射某種金屬進行光電效應實驗，當用賴曼系波長最長的光照射時，遏止電壓的大小為u1，當用巴耳末系波長最短的光照射時，遏止電壓的大小為u2． 已知電子電量的大小為，真空中的光速為，試求：蒲朗克常量和該種金屬的逸出功．
五、（25分）一質量為m的小滑塊a沿斜坡由靜止開始下滑，與一質量為km的靜止在水平地面上的小滑塊b發生正碰撞，如圖所示．設碰撞是彈性的，且一切摩擦不計．為使二者能且只能發生兩次碰撞，則k的值應滿足什麼條件？
六、（25分）如圖所示，兩根位於同一水平面內的平行的直長金屬導軌，處於恆定磁場中，磁場方向與導軌所在平面垂直．一質量為m的均勻導體細桿，放在導軌上，並與導軌垂直，可沿導軌無摩擦地滑動，細桿與導軌的電阻均可忽略不計．導軌的左端與一根阻值為r0的電阻絲相連，電阻絲置於一絕熱容器中，電阻絲的熱容量不計．容器與一水平放置的開口細管相通，細管內有一截面為s的小液柱（質量不計），液柱將1mol氣體（可視為理想氣體）封閉在容器中．已知溫度公升高1k時，該氣體的內能的增加量為（r為普適氣體常量），大氣壓強為p0，現令細桿沿導軌方向以初速v0向右運動，試求達到平衡時細管中液柱的位移．
七、（25分）三個電容器分別有不同的電容值c1、c2、c3 ．現把這三個電容器組成圖示的(a)、(b)、(c)、(d)四種混聯電路，試論證：是否可以通過適當選擇c1、c2、c3的數值，使其中某兩種混聯電路a、b間的等效電容相等．
八、（30分）如圖所示，一根長為的細剛性輕杆的兩端分別鏈結小球和，它們的質量分別為ma和 mb. 杆可繞距球為處的水平定軸在豎直平面內轉動．初始時杆處於豎直位置．小球幾乎接觸桌面．在杆的右邊水平桌面上，緊挨著細桿放著乙個質量為m的立方體勻質物塊，圖中abcd為過立方體中心且與細桿共面的截面．現用一水平恒力f作用於球上，使之繞軸逆時針轉動，求當a轉過α角時小球b速度的大小．設在此過程中立方體物塊沒有發生轉動，且小球b與立方體物塊始終接觸沒有分離．不計一切摩擦．
九、（30分）如圖所示，水平放置的金屬細圓環半徑為a，豎直放置的金屬細圓柱（其半徑比a小得多）的端麵與金屬圓環的上表面在同一平面內，圓柱的細軸通過圓環的中心o．一質量為m，電阻為r的均勻導體細棒被圓環和細圓柱端麵支撐，棒的一端有一小孔套在細軸o上，另一端a可繞軸線沿圓環作圓周運動，棒與圓環的摩擦係數為μ．圓環處於磁感應強度大小為、方向豎直向上的恆定磁場中，式中k為大於零的常量，r為場點到軸線的距離．金屬細圓柱與圓環用導線ed連線．不計棒與軸及與細圓柱端麵的摩擦，也不計細圓柱、圓環及導線的電阻和感應電流產生的磁場．問沿垂直於棒的方向以多大的水平外力作用於棒的a端才能使棒以角速度ω 勻速轉動．
注： 第22屆全國中學生物理競賽預賽參考解答
一、國際物理（或世界物理）． 相對論；光的量子性
評分標準：本題10分．第1小問4分．第2小問6分（填寫任意兩項愛因斯坦的成果只要正確都給6分）．
二、找個地方把彈簧測力計懸掛好，取一段細線做成一環，掛在彈簧測力計的掛鉤上，讓直尺穿在細環中，環與直尺的接觸點就是直尺的懸掛點，它將尺分為長短不等的兩段．用細線栓住木塊掛在直尺較短的一段上，細心調節直尺懸掛點及木塊懸掛點的位置，使直尺平衡在水平位置（為提高測量精度，盡量使二懸掛點相距遠些），如圖所示．設木塊質量為m，直尺質量為m．記下二懸掛點在直尺上的讀數x1、x2，彈簧測力計讀數g．由平衡條件和圖中所設的直尺零刻度線的位置有
(1)(2)(1)、(2)式聯立可得
(3)(4)評分標準：本題17分．
正確畫出裝置示意圖給5分．（1）式、（2）式各4分，（3）式、（4）式各2分．
三、自s作球的切線sm，並畫出s經管壁反射形成的虛像點，及由畫出球面的切線n，如圖1所示，由圖可看出，只要和之間有一夾角，則筒壁對從s 向右的光線的反射光線就有一部分進入球的右方，不會完全落在球上被吸收．
由圖可看出，如果r的大小恰能使與重合，如圖2，則r就是題所要求的筒的內半徑的最大值．這時sm 與mn的交點到球心的距離mo就是所要求的筒的半徑r．由圖2可得
（1）由幾何關係可知
（2）由（1）、（2）式得
（3）評分標準：本題18分．
給出必要的說明佔8分，求出r 佔10分．
四、由巴耳末—里德伯公式
可知賴曼系波長最長的光是氫原子由n = 2→ k = 1躍遷時發出的，其波長的倒數
(1)對應的光子能量為
(2)式中h為蒲朗克常量．巴耳末系波長最短的光是氫原子由n = ∞→ k = 2躍遷時發出的，其波長的倒數
(3)對應的光子能量
(4)用a表示該金屬的逸出功，則和分別為光電子的最大初動能．由愛因斯坦光電效應方程得
(5)(6)解得 (7)
(8)評分標準：本題20分．
(1)式3分，(2)式2分， (3)式3分，(4)式2分， (5)、 (6)式各3分, (7)、(8)式各2分．
五、設a與b碰撞前a的速度為v0，碰後a與b的速度分別為v1與v1，由動量守恆及機械能守恆定律有
1) (2)
由此解得
(3)(4)為使a能回到坡上，要求v1<0，這導致k>1；為使a從坡上滑下後再能追上b，應有，即，這導致，於是，為使第二次碰撞能發生，要求
k > 3 (5)
對於第二次碰撞，令v2和v2分別表示碰後a和b的速度，同樣由動量守恆及機械能守恆定律有：
由此解得
6)7)
若v2>0，則一定不會發生第三次碰撞，若v2<0，且，則會發生第三次碰撞．故為使第三次碰撞不會發生，要求a第三次從坡上滑下後速度的大小不大於b速度的大小，即
(8)由(6)、（7）、（8）式得
9）由k2－10 k + 5 = 0
可求得(9)式的解為
10)(10)與(5)的交集即為所求：
11)評分標準：本題25分．
求得(3)、(4) 式各得3分，求得（5）式得4分，求得（6）、（7）、（8）、（10）和（11）式各得3分．
六、導體細桿運動時，切割磁感應線，在迴路中產生感應電動勢與感應電流，細桿將受到安培力的作用，安培力的方向與細桿的運動方向相反，使細杆減速，隨著速度的減小，感應電流和安培力也減小，最後杆將停止運動，感應電流消失．在運動過程中，電阻絲上產生的焦耳熱，全部被容器中的氣體吸收．
根據能量守恆定律可知，杆從v0減速至停止運動的過程中，電阻絲上的焦耳熱q應等於杆的初動能，即
(1)容器中的氣體吸收此熱量後，設其溫度公升高t，則內能的增加量為
(2)在溫度公升高t的同時，氣體體積膨脹，推動液柱克服大氣壓力做功．設液柱的位移為，則氣體對外做功
(3)就是氣體體積的膨脹量
(4)由理想氣體狀態方程，注意到氣體的壓強始終等於大氣壓，故有
(5)由熱力學第一定律
(6)由以上各式可解得
(7)評分標準：本題25分．
（1）式6分，（2）式4分，（3）、（4）、（5）式各2分，（6）式5分，（7）式4分．
七、由電容、組成的串聯電路的等效電容
由電容、組成的併聯電路的等效電容
利用此二公式可求得圖示的4個混聯電路a、b間的等效電容ca、cb、cc、cd分別為
（1）（2）（3）（4）由（1）、（3）式可知
5）由（2）、（4）式可知
6）由（1）、（2）式可知
7）由（3）、（4）式可知
8） 若，由（1）、（4）式可得
因為、和均大於0，上式不可能成立，因此
9） 若，由（2）、（3）式可得
因為、和均大於0，上式不可能成立，因此
10) 綜合以上分析，可知這四個混聯電路的等效電容沒有一對是相等的．
評分標準：本題25分．
（1）、（2）、（3）、（4）式各4分，得到（5）、（6）、（7）、（8）式各1分，得到（9）、（10）式共5分．
第22屆全國中學生物理競賽複賽精簡版
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