一、圖中的是遊樂場中的滑道模型，它位於豎直平面內,由兩個半徑都是的1/4圓周連線而成，它們的圓心、與兩圓弧的連線點在同一豎直線上．沿水池的水面．一小滑塊可由弧的任意點從靜止開始下滑．
1．若小滑塊從開始下滑到脫離滑道過程中，在兩個圓弧上滑過的弧長相等，則小滑塊開始下滑時應在圓弧上的何處？（用該處到的連線與豎直線的夾角表示）．
2．凡能在點脫離滑道的小滑塊，其落水點到的距離如何？
二、如圖所示，o為半徑等於r的原來不帶電的導體球的球心，o1、o2、o3為位於球內的三個半徑皆為r的球形空腔的球心，它們與o共面，已知．在oo1、oo2的連線上距o1、o2為的p1、p2點處分別放置帶電量為q1和q2的線度很小的導體（視為點電荷），在o3處放置一帶電量為q3的點電荷，設法使q1、q2和q3固定不動．在導體球外的p點放乙個電量為q的點電荷，p點與o1、o2、o3共面，位於的延長線上，到o的距離．
1．求q3的電勢能．
2．將帶有電量q1、q2的小導體釋放，當重新達到靜電平衡時，各表面上的電荷分布有何變化？ 此時q3的電勢能為多少？
三、(22分) 如圖所示，水平放置的橫截面積為s的帶有活塞的圓筒形絕熱容器中盛有1mol 的理想氣體．其內能，c為已知常量，t為熱力學溫度．器壁和活塞之間不漏氣且存在摩擦，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等且皆為f．圖中r為電阻絲，通電時可對氣體緩慢加熱．起始時，氣體壓強與外界大氣壓強p0相等，氣體的溫度為t0．現開始對r通電，已知當活塞運動時克服摩擦力做功所產生熱量的一半被容器中的氣體吸收．若用q表示氣體從電阻絲吸收的熱量，t表示氣體的溫度，試以t為縱座標，q為橫座標，畫出在q不斷增加的過程中t和q的關係圖線．並在圖中用題給的已知量及普適氣體常量r標出反映圖線特徵的各量（不要求寫出推導過程）．
四、（23分）封閉的車廂中有一點光源s，在距光源l處有一半徑為r的圓孔，其圓心為o1，光源一直在發光，並通過圓孔射出．車廂以高速v沿固定在水平地面上的x軸正方向勻速運動，如圖所示．某一時刻，點光源s恰位於x軸的原點o的正上方，取此時刻作為車廂參考係與地面參考係的時間零點．在地面參考係中座標為xa處放一半徑為r（r >r）的不透光的圓形擋板，板麵與圓孔所在的平面都與x軸垂直．板的圓心o2 、s、、o1都等高，起始時刻經圓孔射出的光束會有部分從擋板周圍射到擋板後面的大螢幕（圖中未畫出）上．由於車廂在運動，將會出現擋板將光束完全遮住，即沒有光射到屏上的情況．不考慮光的衍射．試求：
1．車廂參考係中（所測出的）剛出現這種情況的時刻．
2．地面參考係中（所測出的）剛出現這種情況的時刻．
五、（25分）乙個用絕緣材料製成的扁平薄圓環，其內、外半徑分別為a1、a2，厚度可以忽略．兩個表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環心距離r變化的規律均為，為已知常量．薄圓環繞通過環心垂直環麵的軸以大小不變的角加速度減速轉動，t = 0時刻的角速度為．將一半徑為a0 (a0<提示：半徑為r、通有電流i的圓線圈（環形電流），在圓心處產生的磁感應強度為（k為已知常量）
六、（25分）兩輛汽車a與b，在t = 0時從十字路口o處分別以速度va和vb沿水平的、相互正交的公路勻速前進，如圖所示．汽車a持續地以固定的頻率v0鳴笛，求在任意時刻t汽車b的司機所檢測到的笛聲頻率．已知聲速為u，且當然有u > va、vb
七、（25分） 如圖所示，在乙個勁度係數為 k的輕質彈簧兩端分別拴著乙個質量為 m 的小球a和質量為 2m的小球b．a用細線拴住懸掛起來，系統處於靜止狀態，此時彈簧長度為．現將細線燒斷，並以此時為計時零點，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的座標軸ox，原點o與此時a球的位置重合如圖．試求任意時刻兩球的座標．
第22屆全國中學生物理競賽複賽題參考解答
一、1．如圖所示，設滑塊出發點為，離開點為，按題意要求、與豎直方向的夾角相等，設其為，若離開滑道時的速度為v，則滑塊在處脫離滑道的條件是
1)由機械能守恆
(2)(1)、(2)聯立解得或3)
2．設滑塊剛能在o點離開滑道的條件是4）
v0為滑塊到達o點的速度，由此得5）
設到達o點的速度為v0的滑塊在滑道oa上的出發點到的連線與豎直的夾角為，由機械能守恆，有
6）由（5）、（6）兩式解得7）
若滑塊到達o點時的速度，則對ob滑道來說，因o點可能提供的最大向心力為mg，故滑塊將沿半徑比r大的圓周的水平切線方向離開o點．對於的滑塊，其在oa上出發點的位置對應的角必大於，即，由於，根據機械能守恆，到達o點的最大速度
8）由此可知，能從o點離開滑道的滑塊速度是v0到之間所有可能的值，也就是說，從至下滑的滑塊都將在o點離開滑道．以速度v0從o點沿水平方向滑出滑道的滑塊，其落水點至的距離
9）10）
由（5）、（9）、（10）式得11）
當滑塊以從o點沿水平方向滑出滑道時，其落水點到的距離
12）由（8）、（10）、（12）式得13）
因此，凡能從o點脫離滑道的滑塊，其落水點到的距離在到之間的所有可能值．即
14）二、1．由靜電感應知空腔1、2及3的表面分別出現電量為、和的面電荷，由電荷守恆定律可知，在導體球的外表面呈現出電量．由靜電遮蔽可知，點電荷q1及感應電荷（）在空腔外產生的電場為零；點電荷q2及感應電荷（）在空腔外產生的電場為零；點電荷q3及感應電荷（）在空腔外產生的電場為零．因此，在導體球外沒有電荷時，球表面的電量作球對稱分布．
當球外p點處放置電荷q後，由於靜電感應，球面上的總電量仍為，但這些電荷在球面上不再均勻分布，由球外的q和重新分布在球面上的電荷在導體球內各點產生的合場強為零．
o3處的電勢由位於p點處的q、導體球表面的電荷及空腔3表面的感應電荷（）共同產生．無論在球面上如何分布，球面上的面電荷到o點的距離都是r，因而在o點產生的電勢為， q在o點產生的電勢為，這兩部分電荷在o3點產生的電勢與它們在o點產生的電勢相等，即有1）
因q3放在空腔3的中心處，其感應電荷在空腔3壁上均勻分布．這些電荷在o3點產生的電勢為
2)根據電勢疊加定理，o3點的電勢為3)
故q3的電勢能4)
2． 由於靜電遮蔽，空腔1外所有電荷在空腔1內產生的合電場為零，空腔1內的電荷q1僅受到腔內壁感應電荷的靜電力作用，因q1不在空腔1的中心o1點，所以感應電荷在空腔表面分布不均勻，與q1相距較近的區域電荷面密度較大，對q1的吸力較大，在空腔表面感應電荷的靜電力作用下，q1最後到達空腔1表面，與感應電荷中和．同理，空腔2中q2也將在空腔表面感應電荷的靜電力作用下到達空腔2的表面與感應電荷中和．達到平衡後，腔1、2表面上無電荷分布，腔3表面和導體球外表面的電荷分布沒有變化．o3的電勢仍由球外的電荷q和導體球外表面的電量及空腔3內壁的電荷共同產生，故o3處的電勢u與q3的電勢能w仍如(3)式與(4)式所示．
三、答案如圖所示．
附計算過程：
電阻通電後對氣體緩慢加熱，氣體的溫度公升高，壓強增大，活塞開始有向外運動的趨勢，但在氣體對活塞的作用力尚未達到外界大氣對活塞的作用力和器壁對活塞的最大靜摩擦之和以前，活塞不動，即該過程為等容過程．因氣體對外不做功，根據熱力學第一定律可知，在氣體溫度從t0公升高到t的過程中，氣體從電阻絲吸收的熱量
1)此過程將持續到氣體對活塞的作用力等於外界大氣對活塞的作用力和器壁對活塞的最大靜摩擦之和．若用t1表示此過程達到末態的溫度，p表示末態的壓強，q1表示此過程中氣體從電阻絲吸收的熱量，由等容過程方程有2)
由力的平衡可知3)
由（2）、（3）兩式可得4)
代入(1)式得5)
由以上討論可知，當時，t與q的關係為6)
在圖中為一直線如圖中所示，其斜率7)
直線在t軸上的截距等於t0，直線ab的終點b的座標為（t1，q1）．
當電阻絲繼續加熱，活塞開始向外運動以後，因為過程是緩慢的，外界大氣壓及摩擦力皆不變，所以氣體的壓強不變，仍是p，氣體經歷的過程為等壓過程．在氣體的體積從初始體積v0增大到v，溫度由t1公升高到t的過程中，設氣體從電阻絲吸收的熱量為，活塞運動過程中與器壁摩擦生熱的一半熱量為q，由熱力學第一定律可知8)
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