本卷共七題，滿分140分.
一、(20分)薄膜材料氣密性能的優劣常用其透氣係數來加以評判．對於均勻薄膜材料，在一定溫度下，某種氣體通過薄膜滲透過的氣體分子數，其中t為滲透持續時間，s為薄膜的面積，d為薄膜的厚度，為薄膜兩側氣體的壓強差．k稱為該薄膜材料在該溫度下對該氣體的透氣係數．透氣係數愈小，材料的氣密性能愈好．
圖為測定薄膜材料對空氣的透氣係數的一種實驗裝置示意圖．efgi為滲透室，u形管左管上端與滲透室相通，右管上端封閉；u形管內橫截面積a＝0.150cm2．實驗中，首先測得薄膜的厚度d =0.66mm，再將薄膜固定於圖中處，從而把滲透室分為上下兩部分，上面部分的容積，下面部分連同u形管左管水面以上部分的總容積為v1，薄膜能夠透氣的面積s =1.
00cm2．開啟開關k1、k2與大氣相通，大氣的壓強p1＝1.00atm，此時u形管右管中氣柱長度，．關閉k1、k2後，開啟開關k3，對滲透室上部分迅速充氣至氣體壓強，關閉k3並開始計時．兩小時後， u形管左管中的水面高度下降了．實驗過程中，始終保持溫度為．求該薄膜材料在時對空氣的透氣係數．（本實驗中由於薄膜兩側的壓強差在實驗過程中不能保持恆定，在壓強差變化不太大的情況下，可用計時開始時的壓強差和計時結束時的壓強差的平均值來代替公式中的．普適氣體常量r = 8.31jmol-1k-1，1.
00atm = 1.013×105pa）．
二、(20分) 兩顆人造衛星繞地球沿同一橢圓軌道同向運動，它們通過軌道上同一點的時間相差半個週期．已知軌道近地點離地心的距離是地球半徑r的2倍，衛星通過近地點時的速度，式中m為地球質量，g為引力常量．衛星上裝有同樣的角度測量儀，可測出衛星與任意兩點的兩條連線之間的夾角．試設計一種測量方案，利用這兩個測量儀測定太空中某星體與地心在某時刻的距離．（最後結果要求用測得量和地球半徑r表示）
三、(15分)μ子在相對自身靜止的慣性參考係中的平均壽命．宇宙射線與大氣在高空某處發生核反應產生一批μ子，以v = 0.99c的速度（c為真空中的光速）向下運動並衰變．根據放射性衰變定律，相對給定慣性參考係，若t = 0時刻的粒子數為n(0), t時刻剩餘的粒子數為n(t)，則有，式中τ為相對該慣性系粒子的平均壽命．若能到達地面的μ子數為原來的5％，試估算μ子產生處相對於地面的高度h．不考慮重力和地磁場對μ子運動的影響．
四、(20分)目前，大功率半導體雷射器的主要結構形式是由許多發光區等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為雷射二極體條．但這樣的半導體雷射器發出的是很多束發散光束，光能分布很不集中，不利於傳輸和應用．為了解決這個問題，需要根據具體應用的要求，對光束進行必需的變換（或稱整形）．如果能把乙個半導體雷射二極體條發出的光變換成一束很細的平行光束，對半導體雷射的傳輸和應用將是非常有意義的．為此，有人提出了先把多束髮散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明．
如圖，s1、s2、s3 是等距離（h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直於它們的連線的同一方向發出半頂角為α =arctan的圓錐形光束．請使用三個完全相同的、焦距為f = 1.50h、半徑為r =0.75 h的圓形薄凸透鏡，經加工、組裝成乙個三者在同一平面內的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經透鏡折射後的光線能全部會聚於z軸（以s2為起點，垂直於三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離s2為 l = 12.
0 h處的p點．（加工時可對透鏡進行外形的改變，但不能改變透鏡焦距．）
1．求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置．
2．說明對三個透鏡應如何加工和組裝，並求出有關資料．
五、(20分)如圖所示，接地的空心導體球殼內半徑為r，在空腔內一直徑上的p1和p2處，放置電量分別為q1和q2的點電荷，q1＝q2＝q，兩點電荷到球心的距離均為a．由靜電感應與靜電遮蔽可知：導體空腔內表面將出現感應電荷分布，感應電荷電量等於－2q．空腔內部的電場是由q1、q2和兩者在空腔內表面上的感應電荷共同產生的．由於我們尚不知道這些感應電荷是怎樣分布的，所以很難用場強疊加原理直接求得腔內的電勢或場強．但理論上可以證明，感應電荷對腔內電場的貢獻，可用假想的位於腔外的（等效）點電荷來代替（在本題中假想(等效)點電荷應為兩個），只要假想的（等效）點電荷的位置和電量能滿足這樣的條件，即：設想將整個導體殼去掉，由q1在原空腔內表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q1共同產生的電場在原空腔內表面所在位置處各點的電勢皆為0；由q2在原空腔內表面的感應電荷的假想（等效）點電荷與q2共同產生的電場在原空腔內表面所在位置處各點的電勢皆為0．這樣確定的假想電荷叫做感應電荷的等效電荷，而且這樣確定的等效電荷是唯一的．等效電荷取代感應電荷後，可用等效電荷、和q1、q2來計算原來導體存在時空腔內部任意點的電勢或場強．
1．試根據上述條件，確定假想等效電荷、的位置及電量．
2．求空腔內部任意點a的電勢ua．已知a點到球心o的距離為r，與的夾角為θ．
六、(20分)如圖所示，三個質量都是m的剛性小球a、b、c位於光滑的水平桌面上（圖中紙面），a、b之間，b、c之間分別用剛性輕杆相連，杆與a、b、c的各連線處皆為「鉸鏈式」的（不能對小球產生垂直於杆方向的作用力）．已知杆ab與bc的夾角為π-α ，α< π/2．de為固定在桌面上一塊擋板，它與ab連線方向垂直．現令a、b、c一起以共同的速度v沿平行於ab連線方向向de運動，已知在c與擋板碰撞過程中c與擋板之間無摩擦力作用，求碰撞時當c沿垂直於de方向的速度由v變為0這一極短時間內擋板對c的衝量的大小．
七、（25分）如圖所示，有二平行金屬導軌，相距l，位於同一水平面內（圖中紙面），處在磁感應強度為b的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向裡）．質量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導軌上，與導軌垂直．初始時刻， 金屬桿ab和cd分別位於x = x0和x = 0處．假設導軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導軌構成的迴路的自感係數為l．今對金屬桿ab施以沿導軌向右的瞬時衝量，使它獲得初速．設導軌足夠長，也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠小於兩金屬桿的初始間距，因而可以認為在杆運動過程中由兩金屬桿與導軌構成的迴路的自感係數l是恆定不變的．杆與導軌之間摩擦可不計．求任意時刻兩桿的位置xab和xcd以及由兩桿和導軌構成的迴路中的電流i三者各自隨時間t的變化關係．
第21屆全國中學生物理競賽複賽題參考解答
一、開始時u形管右管中空氣的體積和壓強分別為
v2 = ha1）
p2= p1
經過2小時，u形管右管中空氣的體積和壓強分別為
2）3）
滲透室下部連同u形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為
4）5）
式中ρ為水的密度，g為重力加速度．由理想氣體狀態方程可知，經過2小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數
6）在2個小時內，通過薄膜滲透過去的分子數
7）式中na為阿伏伽德羅常量．
滲透室上部空氣的摩爾數減少，壓強下降．下降了p
（8）經過2小時滲透室上部分中空氣的壓強為
9）測試過程的平均壓強差
10）根據定義，由以上各式和有關資料，可求得該薄膜材料在0℃時對空氣的透氣係數
11）評分標準：
本題20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．
二、如圖，衛星繞地球運動的軌道為一橢圓，地心位於軌道橢圓的乙個焦點o處，設待測量星體位於c處．根據題意，當乙個衛星運動到軌道的近地點a時，另乙個衛星恰好到達遠地點b處，只要位於a點的衛星用角度測量儀測出ao和ac的夾角α1，位於b點的衛星用角度測量儀測出bo和bc的夾角α2，就可以計算出此時星體c與地心的距離oc．
因衛星橢圓軌道長軸的長度
(1)式中r近、與r遠分別表示軌道近地點和遠地點到地心的距離．由角動量守恆
2)式中m為衛星的質量．由機械能守恆
(3)已知，得 (4)
所以 (5)
在△abc中用正弦定理
(6)所以 (7)
地心與星體之間的距離為，在△boc中用餘弦定理
(8)由式(4)、(5)、(7)得
(9)評分標準：
本題20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因μ子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命
根據時間膨脹效應，在地球上觀測到的μ子平均壽命為τ，
(1)代入資料得
τ = 1.4×10－5s (2)
相對地面，若μ子到達地面所需時間為t，則在t時刻剩餘的μ子數為
(3)根據題意有
(4)對上式等號兩邊取e為底的對數得
(5)代入資料得
6)根據題意，可以把μ子的運動看作勻速直線運動，有
7)代入資料得
(8)評分標準：
本題15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像於p點的要求，組合透鏡所在的平面應垂直於z軸，三個光心o1、o2、o3的連線平行於3個光源的連線，o2位於z軸上，如圖1所示．圖中表示組合透鏡的平面，、、為三個光束中心光線與該平面的交點．＝ u就是物距．根據透鏡成像公式
1)可解得
因為要保證經透鏡折射後的光線都能全部會聚於p點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utanα ≤h即u≤2h．在上式中取「－」號，代入f 和l的值，算得
≈1.757h2)
此解滿足上面的條件
分別作3個點光源與p點的連線．為使3個點光源都能同時成像於p點，3個透鏡的光心o1、o2、o3應分別位於這3條連線上（如圖1）．由幾何關係知，有
3) 即光心o1的位置應在之下與的距離為
4)同理，o3的位置應在之上與的距離為0.146h處．由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等於0.854h，才能使s1、s2、s3都能成像於p點．
2．現在討論如何把三個透鏡l1、l2、l3加工組裝成組合透鏡．
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一 開始時u形管右管中空氣的體積和壓強分別為 v2 ha1 p2 p1 經過2小時，u形管右管中空氣的體積和壓強分別為 2 3 滲透室下部連同u形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為 4 5 式中 為水的密度，g為重力加速度 由理想氣體狀態方程可知，經過2小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數 6 ...
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