第二十屆全國中學生物理競賽複賽試卷
全卷共七題，總分為140分。
一、（15分）圖中a為一固定放置的半徑為r的均勻帶電球體，o為其球心．己知取無限遠處的電勢為零時，球表面處的電勢為u=1000 v．在離球心o很遠的o′點附近有一質子b，它以 ek＝2000 ev 的動能沿與oo平行的方向射向a．以l表示b與oo線之間的垂直距離，要使質子b能夠與帶電球體a的表面相碰，試求l的最大值．把質子換成電子，再求l的最大值．
二、（15分）u形管的兩支管 a、b和水平管c都是由內徑均勻的細玻璃管做成的，它們的內徑與管長相比都可忽略不計．己知三部分的截面積分別為cm2， cm2， cm2，在 c管中有一段空氣柱，兩側被水銀封閉．當溫度為℃時，空氣柱長為＝30 cm（如圖所示），c中氣柱兩側的水銀柱長分別為＝2.0cm，＝3.0cm，a、b兩支管都很長，其中的水銀柱高均為＝12 cm．大氣壓強保持為＝76 cmhg不變．不考慮溫度變化時管和水銀的熱膨脹．試求氣柱中空氣溫度緩慢公升高到＝97℃時空氣的體積．
三、（20分）有人提出了一種不用火箭發射人造地球衛星的設想．其設想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖所示．在通道的兩個出口處和，分別將質量為的物體和質量為的待發射衛星同時自由釋放，只要比足夠大，碰撞後，質量為的物體，即待發射的衛星就會從通道口衝出通道；設待發衛星上有一種裝置，在待發衛星剛離開出口時，立即把待發衛星的速度方向變為沿該處地球切線的方向，但不改變速度的大小．這樣待發衛星便有可能繞地心運動，成為乙個人造衛星．若人造衛星正好沿地球表面繞地心做圓周運動，則地心到該通道的距離為多少？己知＝20，地球半徑＝6400 km．假定地球是質量均勻分布的球體，通道是光滑的，兩物體間的碰撞是彈性的．
四、(20分)如圖所示，一半徑為、折射率為的玻璃半球，放在空氣中，平表面**半徑為的區域被塗黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆蓋整個表面．為以球心為原點，與平而垂直的座標軸．通過計算，求出座標軸上玻璃半球右邊有光線通過的各點（有光線段）和無光線通過的各點（無光線段）的分界點的座標．
五、(22分)有一半徑為的圓柱a，靜止在水平地面上，並與豎直牆面相接觸．現有另一質量與a相同，半徑為的較細圓柱b，用手扶著圓柱a，將b放在a的上面，並使之與牆面相接觸，如圖所示，然後放手．
己知圓柱a與地面的靜摩擦係數為0.20，兩圓柱之間的靜摩擦係數為0.30．若放手後，兩圓柱體能保持圖示的平衡，問圓柱b與牆面間的靜摩擦係數和圓柱b的半徑的值各應滿足什麼條件？
六、(23分)兩個點電荷位於軸上，在它們形成的電場中，若取無限遠處的電勢為零，則在正軸上各點的電勢如圖中曲線所示，當時，電勢：當時，電勢；電勢為零的點的座標, 電勢為極小值的點的座標為（＞2）。試根據圖線提供的資訊，確定這兩個點電荷所帶電荷的符號、電量的大小以及它們在軸上的位置．
七、(25分)如圖所示，將一鐵餅狀小物塊在離地面高為處沿水平方向以初速丟擲．己知物塊碰地彈起時沿豎直方向的分速度的大小與碰前沿豎直方向的分速度的大小之比為（＜1）．又知沿水平方向物塊與地面之間的滑動摩擦係數為（≠0）：每次碰撞過程的時間都非常短，而且都是「餅面」著地．求物塊沿水平方向運動的最遠距離．
第二十屆全國中學生物理競賽複賽試題參考解答、評分標準
一、參考解答
令表示質子的質量，和分別表示質子的初速度和到達a球球面處的速度，表示元電荷，由能量守恆可知
1）因為a不動，可取其球心為原點，由於質子所受的a球對它的靜電庫侖力總是通過a球的球心，所以此力對原點的力矩始終為零，質子對點的角動量守恆。所求的最大值對應於質子到達a球表面處時其速度方向剛好與該處球面相切（見復解20-1-1）。以表示的最大值，由角動量守恆有
2）由式（1）、（2）可得
3）代入資料，可得
4）若把質子換成電子，則如圖復解20-1-2所示，此時式（1）中改為。同理可求得
5）評分標準：本題15分。
式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、參考解答
在溫度為時，氣柱中的空氣的壓強和體積分別為
1）2）
當氣柱中空氣的溫度公升高時，氣柱兩側的水銀將被緩慢壓入a管和b管。設溫度公升高到時，氣柱右側水銀剛好全部壓到b管中，使管中水銀高度增大
3）由此造成氣柱中空氣體積的增大量為
4）與此同時，氣柱左側的水銀也有一部分進入a管，進入a管的水銀使a管中的水銀高度也應增大，使兩支管的壓強平衡，由此造成氣柱空氣體積增大量為
5）所以，當溫度為時空氣的體積和壓強分別為
6）7）
由狀態方程知
8）由以上各式，代入資料可得
k9）此值小於題給的最終溫度k，所以溫度將繼續公升高。從這時起，氣柱中的空氣作等壓變化。當溫度到達時，氣柱體積為
10）代入資料可得
11）評分標準：本題15分。
求得式（6）給6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、參考解答
位於通道內、質量為的物體距地心為時（見圖復解20-3），它受到地球的引力可以表示為
1）式中是以地心為球心、以為半徑的球體所對應的那部分地球的質量，若以表示地球的密度，此質量可以表示為
2）於是，質量為的物體所受地球的引力可以改寫為
3）作用於質量為的物體的引力在通道方向的分力的大小為
4）5）
為與通道的中垂線間的夾角，為物體位置到通道中
點的距離，力的方向指向通道的中點。在地面上物體的重力可以表示為
6）式中是地球的質量。由上式可以得到
7）由以上各式可以求得
8）可見，與彈簧的彈力有同樣的性質，相應的「勁度係數」為
9）物體將以為平衡位置作簡諧振動，振動週期為。取處為「彈性勢能」的零點，設位於通道出口處的質量為的靜止物體到達處的速度為，則根據能量守恆，有
10）式中表示地心到通道的距離。解以上有關各式，得
11）可見，到達通道中點的速度與物體的質量無關。
設想讓質量為的物體靜止於出口處，質量為的物體靜止於出口處，現將它們同時釋放，因為它們的振動週期相同，故它們將同時到達通道中點處，並發生彈性碰撞。碰撞前，兩物體速度的大小都是，方向相反，剛碰撞後，質量為的物體的速度為，質量為的物體的速度為，若規定速度方向由向為正，則有
12）13）
解式（12）和式（13），得
14）質量為的物體是待發射的衛星，令它回到通道出口處時的速度為，則有
15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得
16）的方向沿著通道。根據題意，衛星上的裝置可使的方向改變成沿地球處的切線方向，如果的大小恰能使小衛星繞地球作圓周運動，則有
17）由式（16）、（17）並注意到式（6），可以得到
18）已知m，則得
19）評分標準：本題20分。
求得式（11）給7分，求得式（16）給6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。
第14屆全國中學生物理競賽複賽試卷
全卷共六題，總分為140分。一 20分 如圖復14 1所示，用兩段直徑均為d 0.02公尺且相互平行的小圓棒a和b 水平地支起一根長為l 0.64公尺 質量均勻分布的木條。設木條與二圓棒之間的靜摩擦係數 0.4，滑動摩擦係數 0.2 現使a棒固定不動，並對b棒施以適當外力，使木棒b向左緩慢移動。試討...
第17屆全國中學生物理競賽複賽試題
全卷共六題，總分140分 一 20分 在一大水銀槽中豎直插有一根玻璃管，管上端封閉，下端開口 已知槽中水銀液面以上的那部分玻璃管的長度，管內封閉有的空氣，保持水銀槽與玻璃管都不動而設法使玻璃管內空氣的溫度緩慢地降低10 問在此過程中管內空氣放出的熱量為多少？已知管外大氣的壓強為汞柱高，每摩爾空氣的內...
第21屆全國中學生物理競賽複賽答案
一 開始時u形管右管中空氣的體積和壓強分別為 v2 ha1 p2 p1 經過2小時，u形管右管中空氣的體積和壓強分別為 2 3 滲透室下部連同u形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為 4 5 式中 為水的密度，g為重力加速度 由理想氣體狀態方程可知，經過2小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數 6 ...