一、開始時u形管右管中空氣的體積和壓強分別為
v2 = ha1）
p2= p1
經過2小時，u形管右管中空氣的體積和壓強分別為
2）3）
滲透室下部連同u形管左管水面以上部分氣體的總體積和壓強分別為
4）5）
式中ρ為水的密度，g為重力加速度．由理想氣體狀態方程可知，經過2小時，薄膜下部增加的空氣的摩爾數
6）在2個小時內，通過薄膜滲透過去的分子數
7）式中na為阿伏伽德羅常量．
滲透室上部空氣的摩爾數減少，壓強下降．下降了p
（8）經過2小時滲透室上部分中空氣的壓強為
9）測試過程的平均壓強差
10）根據定義，由以上各式和有關資料，可求得該薄膜材料在0℃時對空氣的透氣係數
11）評分標準：
本題20分．(1)、(2)、(3)、(4)、(5)式各1分，(6)式3分，(7)、(8)、(9)、(10) 式各2分，(11) 式4分．
二、如圖，衛星繞地球運動的軌道為一橢圓，地心位於軌道橢圓的乙個焦點o處，設待測量星體位於c處．根據題意，當乙個衛星運動到軌道的近地點a時，另乙個衛星恰好到達遠地點b處，只要位於a點的衛星用角度測量儀測出ao和ac的夾角α1，位於b點的衛星用角度測量儀測出bo和bc的夾角α2，就可以計算出此時星體c與地心的距離oc．
因衛星橢圓軌道長軸的長度
1)式中r近、與r遠分別表示軌道近地點和遠地點到地心的距離．由角動量守恆
2)式中m為衛星的質量．由機械能守恆
(3)已知，得 (4)
所以 (5)
在△abc中用正弦定理
(6)所以 (7)
地心與星體之間的距離為，在△boc中用餘弦定理
(8)由式(4)、(5)、(7)得
(9)評分標準：
本題20分．(1)式2分，(2)、(3)式各3分，(6) 、(8)式各3分， (9) 式6分．
三、因μ子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命
根據時間膨脹效應，在地球上觀測到的μ子平均壽命為τ，
(1)代入資料得
τ = 1.4×10－5s (2)
相對地面，若μ子到達地面所需時間為t，則在t時刻剩餘的μ子數為
(3)根據題意有
(4)對上式等號兩邊取e為底的對數得
(5)代入資料得
6)根據題意，可以把μ子的運動看作勻速直線運動，有
7)代入資料得
(8)評分標準：
本題15分． (1)式或(2)式6分，(4)式或(5)式4分，(7) 式2分，(8) 式3分．
四、1．考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像於p點的要求，組合透鏡所在的平面應垂直於z軸，三個光心o1、o2、o3的連線平行於3個光源的連線，o2位於z軸上，如圖1所示．圖中表示組合透鏡的平面，、、為三個光束中心光線與該平面的交點．＝ u就是物距．根據透鏡成像公式
1)可解得
因為要保證經透鏡折射後的光線都能全部會聚於p點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utanα ≤h即u≤2h．在上式中取「－」號，代入f 和l的值，算得
≈1.757h2)
此解滿足上面的條件
分別作3個點光源與p點的連線．為使3個點光源都能同時成像於p點，3個透鏡的光心o1、o2、o3應分別位於這3條連線上（如圖1）．由幾何關係知，有
3) 即光心o1的位置應在之下與的距離為
4)同理，o3的位置應在之上與的距離為0.146h處．由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等於0.854h，才能使s1、s2、s3都能成像於p點．
2．現在討論如何把三個透鏡l1、l2、l3加工組裝成組合透鏡．
因為三個透鏡的半徑r = 0.75h，將它們的光心分別放置到o1、o2、o3處時，由於＝＝0.854h<2r，透鏡必然發生相互重疊，必須對透鏡進行加工，各切去一部分，然後再將它們粘起來，才能滿足(3)式的要求．由於對稱關係，我們只需討論上半部分的情況．
圖2畫出了l1、l2放在平面內時相互交疊的情況（紙面為平面）．圖中c1、c2表示l1、l2的邊緣，、為光束中心光線與透鏡的交點，w1、w2分別為c1、c2與o1o2的交點．
為圓心的圓1和以（與o2重合）為圓心的圓2分別是光源s1和s2投射到l1和l2時產生的光斑的邊緣，其半徑均為
5)根據題意，圓1和圓2內的光線必須能全部進入透鏡．首先，圓1的k點（見圖2）是否落在l1上？由幾何關係可知
(6)故從s1發出的光束能全部進入l1．為了保證全部光束能進入透鏡組合，對l1和l2進行加工時必須保留圓1和圓2內的透鏡部分．
下面舉出一種對透鏡進行加工、組裝的方法．在o1和o2之間作垂直於o1o2且分別與圓1和圓2相切的切線和．若沿位於和之間且與它們平行的任意直線對透鏡l1和l2進行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然後把它們沿此線粘合就得到符合所需組合透鏡的上半部．同理，對l2的下半部和l3進行切割，然後將l2的下半部和l3粘合起來，就得到符合需要的整個組合透鏡．這個組合透鏡可以將s1、s2、s3發出的全部光線都會聚到p點．
現在計算和的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應符合的條件．設透鏡l1被切去部分沿o1o2方向的長度為x1，透鏡l2被切去部分沿o1o2方向的長度為x2，如圖2所示，則對任意一條切割線， x1、x2之和為
7）由於必須在和之間，從圖2可看出，沿切割時，x1達最大值(x1m)，x2達最小值(x2m)，
代入r，ρ和的值，得
(8)代入(7)式，得
(9)由圖2可看出，沿切割時，x2達最大值(x2m)，x1達最小值(x1m)，
代入r和ρ的值，得
(10)
（11）
由對稱性，對l3的加工與對l1相同，對l2下半部的加工與對上半部的加工相同．
評分標準：
本題20分．第1問10分，其中（2）式5分，（3）式5分，
第2問10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．
如果學生解答中沒有(7)—(11)式，但說了「將圖2中三個圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據需要磨去（或切割掉）」給3分，再說明將加工後的透鏡組裝成透鏡組合時必須保證o1o2=o1o2=0.854h，再給1分，即給(7)—(11)式的全分（4分）．
五、1．解法ⅰ：
如圖1所示，s為原空腔內表面所在位置，的位置應位於的延長線上的某點b1處，的位置應位於的延長線上的某點b2處．設a1為s面上的任意一點，根據題意有
1) (2)
怎樣才能使 (1) 式成立呢？下面分析圖1中與的關係．
若等效電荷的位置b1使下式成立，即
3)即4)
則有5)由 (1)式和 (5)式便可求得等效電荷
(6)由 (3) 式知，等效電荷的位置b1到原球殼中心位置o的距離
7) 同理，b2的位置應使，用類似的方法可求得等效電荷
8) 等效電荷的位置b2到原球殼中心o位置的距離
9) 解法ⅱ：
在圖1中，設，，．根據題意，和兩者在a1點產生的電勢和為零．有
1＇）式中
2＇）3＇）
由（1＇）、（2＇）、（3＇）式得
4＇）（4＇）式是以為變數的一次多項式，要使（4＇）式對任意均成立，等號兩邊的相應係數應相等，即
5＇）6＇）
由（5＇）、（6＇）式得
7＇）解得8＇）
由於等效電荷位於空腔外部，由（8＇）式求得
9＇）由（6＇）、（9＇）式有
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