一、填空(問答)題(每題5分，共25分)
1.有人設想了一種靜電場：電場的方向都垂直於紙面並指向紙裡，電場強度的大小自左向右逐漸增大，如圖所示.這種分布的靜電場是否可能存在？試述理由 ____.
2.海爾-波普彗星軌道是長軸非常大的橢圓，近日點到太陽中心的距離為0.914天文單位(1天文單位等於地日間的平均距離)，則其近日點速率的上限與地球公轉(軌道可視為圓周)速率之比約為(保留2位有效數字
3.用測電筆接觸市電相線，即使赤腳站在地上也不會觸電，原因是另一方面，即使穿絕緣性能良好的電工鞋操作，測電筆仍會發亮，原因是
4.在圖示的複雜網路中，所有電源的電動勢均為e0，所有電阻器的電阻值均為r0，所有電容器的電容均為c0，則圖示電容器a極板上的電荷量為____.
5.如圖，給靜止在水平粗糙地面上的木塊一初速度，使之開始運動.一學生利用角動量定理來考察此木塊以後的運動過程：
「把參考點設於如圖所示的地面上一點o，此時摩擦力f的力矩為0，從而地面木塊的角動量將守恆，這樣木塊將不減速而作勻速運動.」請指出上述推理的錯誤，並給出正確的解釋：____.
二、(20分)圖示正方形輕質剛性水平桌面由四條完全相同的輕質細桌腿1、2、3、4支撐於桌角a、b、c、d處，桌腿豎直立在水平粗糙剛性地面上.已知桌腿受力後將產生彈性微小形變.現於桌面中心點o至角a的連線oa上某點p施加一豎直向下的力f，令，求桌面對桌腿1的壓力f1.
三、(15分)
1.一質量為m的小球與一勁度係數為k的彈簧相連組成一體系，置於光滑水平桌面上，彈簧的另一端與固定牆面相連，小球做一維自由振動.試問在一沿此彈簧長度方向以速度u作勻速運動的參考係裡觀察，此體系的機械能是否守恆，並說明理由
2.若不考慮太陽和其他星體的作用，則地球-月球系統可看成孤立系統.若把地球和月球都看作是質量均勻分布的球體，它們的質量分別為m和m，月心-地心間的距離為r，萬有引力恒量為g.
學生甲以地心為參考係，利用牛頓第二定律和萬有引力定律，得到月球相對於地心參考係的加速度為；學生乙以月心為參考係，同樣利用牛頓第二定律和萬有引力定律，得到地球相對於月心參考係的加速度為.這二位學生求出的地-月間的相對加速度明顯矛盾，請指出其中的錯誤，並分別以地心參考係(以地心速度作平動的參考係)和月心參考係(以月心速度作平動的參考係)求出正確結果.
四、(20分)
火箭通過高速噴射燃氣產生推力.設溫度t1、壓強p1的熾熱高壓氣體在燃燒室內源源不斷生成，並通過管道由狹窄的噴氣口排入氣壓p2的環境.假設燃氣可視為理想氣體，其摩爾質量為μ，每摩爾燃氣的內能為u=cvt(cv是常量，t為燃氣的絕對溫度).
在快速流動過程中，對管道內任意處的兩個非常靠近的橫截面間的氣體，可以認為它與周圍沒有熱交換，但其內部則達到平衡狀態，且有均勻的壓強p、溫度t和密度ρ，它們的數值隨著流動而不斷變化，並滿足絕熱方程(恒量)，式中r為普適氣體常量，求噴氣口處氣體的溫度與相對火箭的噴射速率.
五、(20分)
內半徑為r的直立圓柱器皿內盛水銀，繞圓柱軸線勻速旋轉(水銀不溢，皿底不露)，穩定後的液面為旋轉拋物面.若取座標原點在拋物面的最低點，縱座標軸z與圓柱器皿的軸線重合，橫座標軸r與z軸垂直，則液面的方程為，式中ω為旋轉角速度，g為重力加速度(當代已使用大面積的此類旋轉水銀液面作反射式天文望遠鏡).
觀察者的眼睛位於拋物面最低點正上方某處，保持位置不變，然後使容器停轉，待液面靜止後，發現與穩定旋轉時相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都無變化.求人眼位置至穩定旋轉水銀面最低點的距離.
六、(20分)
兩慣性系s′與s初始時刻完全重合，前者相對後者沿z軸正向以速度v高速運動.作為光源的自由質點靜止於s′系中，以恆定功率p向四周輻射(各向同性)光子.在s系中觀察，輻射偏向於光源前部(即所謂的前燈效應).
1.在s系中觀察，s′系中向前的那一半輻射將集中於光源前部以x軸為軸線的圓錐內.求該圓錐的半頂角α.已知相對論速度變換關係為
式中ux與ux′分別為s與s′系中測得的速度x分量，c為光速.
2.求s系中測得的單位時間內光源輻射的全部光子的總動量與總能量.
七、(20分)
1.設想光子能量為e的單色光垂直入射到質量為m、以速度v沿光入射方向運動的理想反射鏡(無吸收)上，試用光子與鏡子碰撞的觀點確定反射光的光子能量e′.可取以下近似：
，其中c為光速.
2.若在上述問題中單色光的強度為φ，試求反射光的強度φ′(可以近似認為光子撞擊鏡子後，鏡子的速度仍為v).光的強度定義為單位時間內通過垂直於光傳播方向單位面積的光子的能量.
八、(20分)
惰性氣體分子為單原子分子，在自由原子情形下，其電子電荷分布是球對稱的.負電荷中心與原子核重合.但如兩個原子接近，則彼此能因靜電作用產生極化(正負電荷中心不重合)，從而導致有相互作用力，這稱為范德瓦爾斯相互作用.
下面我們採用一種簡化模型來研究此問題.
當負電中心與原子核不重合時，若以x表示負電中心相對正電荷(原子核)的位移，當x為正時，負電中心在正電荷的右側，當x為負時，負電中心在正電荷的左側，如圖1所示.這時，原子核的正電荷對荷外負電荷的作用力f相當於乙個勁度係數為k的彈簧的彈性力，即f=－kx，力的方向指向原子核，核外負電荷的質量全部集中在負電中心，此原子可用一彈簧振子來模擬.
今有兩個相同的惰性氣體原子，它們的原子核固定，相距為r，原子核正電荷的電荷量為q，核外負電荷的質量為m.因原子間的靜電相互作用，負電中心相對各自原子核的位移分別為x1和x2，且|x1|和|x2|都遠小於r，如圖2所示.此時每個原子的負電荷除受到自己核的正電荷作用外，還受到另一原子的正、負電荷的作用.
眾所周知，孤立諧振子的能量e=mv2/2+kx2/2是守恆的，式中v為質量m的振子運動的速度，x為振子相對平衡位置的位移.量子力學證明，在絕對零度時，諧振子的能量為hω/2，稱為零點振動能，，h為蒲朗克常量，為振子的固有角頻率.試計算在絕對零度時上述兩個有范德瓦爾斯相互作用的惰性氣體原子構成的體系的能量，與兩個相距足夠遠的(可視為孤立的、沒有范德瓦爾斯相互作用的)惰性氣體原子的能量差，並從結果判定范德瓦爾斯相互作用是吸引還是排斥.
可利用當|x|<<1時的近似式(1+x)1/2≈1+x/2-x2/8，(1+x)-1≈1－x+x2.
參考解答與評分標準
一、填空(問答)題.每小題5分，共25分.按各小題的答案和評分標準評分.
1.答案與評分標淮：
這種分布的靜電場不可能存在.因為靜電場是保守場，電荷沿任意閉合路徑一周電場力做的功等於0，但在這種電場中，電荷可以沿某一閉合路徑移動一周而電場力做功不為0.(5分)
2.答案與評分標淮：
1.5.(5分)
3.答案與評分標淮：
測電筆內阻很大，通過與之串聯的人體上的電流(或加在人體上的電壓)在安全範圍內；(2分)
市電為交流電，而電工鞋相當於一電容器，串聯在電路中仍允許交流電通過.(3分)
4.答案與評分標淮：
2e0c0.(5分)
5.答案與評分標淮：
該學生未考慮豎直方向木塊所受的支援力和重力的力矩.僅根據摩擦力的力矩為零便推出木塊的角動量應守恆，這樣推理本身就不正確.事實上，此時支援力合力的作用線在重力作用線的右側，支援力與重力的合力矩不為0，木塊的角動量不守恆，與木塊作減速運動不矛盾.
(5分)
二、參考解答：
設桌面對四條腿的作用力皆為壓力，分別為f1、f2、f3、f4.因輕質剛性的桌面處在平衡狀態，可推得
f1+f2+f3+f4=f. (1)
由於對稱性，f2=f4. (2)
考察對桌面對角線bd的力矩，由力矩平衡條件可得 f3+cf=f1. (3)
根據題意，0≤c≤1，c=0對應於力f的作用點在o點，c=1對應於f作用點在a點.
設桌腿的勁度係數為k, 在力f的作用下，腿1的形變為f1/k，腿2和4的形變均為f2/k，腿3的形變為f3/k.依題意，桌面上四個角在同一平面上，因此滿足, 即
f1+f3=2f2. (4)
由(1)、(2)、(3)、(4)式，可得
， (5)
， (6)
當時，f3≤表示腿3無形變；f3＜0，表示腿3受到桌面的作用力為拉力，這是不可能的，故應視f3=0.此時式(3)式仍成立.由式，可得
f1=cf.(7)
綜合以上討論得
. (8)
f1=cf，. (9)
評分標準：本題20分.
(1)式1分，(2)式1分，(3)式2分，(4)式7分，得到由(8)式表示的結果得4分，得到由(9)式表示的結果得5分.
三、參考解答：
1.否.原因是牆壁對於該體系而言是外界，牆壁對彈簧有作用力，在運動參考係裡此力的作用點有位移，因而要對體系做功，從而會改變這一體系的機械能.
2.因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它們相對慣性系都有加速度，故它們都不是慣性參考係.相對非慣性參考係，牛頓第二定律不成立.
如果要在非慣性參考係中應用牛頓第二定律，必須引入相應的慣性力；而這兩位學生又都未引入慣性力，所以他們得到的結果原則上都是錯誤的.
以地心為參考係來求月球的加速度.地心繫是非慣性係，設地球相對慣性系的加速度的大小為，則由萬有引力定律和牛頓第二定律有
，(7)
加速度的方向指向月球.相對地心參考係，月球受到慣性力作用，其大小
，(8)
方向指向地球，與月球受到的萬有引力的方向相同.若月球相對地心繫的加速度為，則有
. (9)
由(7)、(8)、(9)三式，得
， (10)
加速度的方向指向地球.
以月心為參考係來求地球的加速度.月心繫也是非慣性係，設月球相對慣性系的加速度的大小為，則由萬有引力定律和牛頓第二定律有
， (11)
加速度的方向指向地球.相對月心參考係，地球受到慣性力作用，慣性力的大小
， (12)
方向指向月球，與地球受到的萬有引力的方向相同.若地球相對月心繫的加速度為ae，則有
. (13)
由(5)、(6)、(7)三式得
， (14)
加速度的方向指向月球. 式與式表明，地球相對月心繫的加速度ae與月球相對地心繫的加速度am大小相等(方向相反)，與運動的相對性一致.
評分標準：本題15分.
第1小問5分.
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