第28屆全國中學生物理競賽複賽試題
參考解答
一、參考解答：
取直角座標系oxy，原點o位於橢圓的中心，則哈雷彗星的橢圓軌道方程為
1）a、b分別為橢圓的半長軸和半短軸，太陽s位於橢圓的乙個焦點處，如圖1所示．
以表示地球繞太陽運動的週期，則；以表示地球到太陽的距離（認為地球繞太陽作圓周運動），則，根據克卜勒第三定律，有
2設c為橢圓中心到焦點的距離，由幾何關係得
3） 4
由圖1可知，p點的座標
56）把（5）、（6）式代入（1）式化簡得
7）根據求根公式可得
8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式並代入有關資料得
9)可以證明，彗星繞太陽作橢圓運動的機械能為
10)式中m為彗星的質量．以表示彗星在p點時速度的大小，根據機械能守恆定律有
（11）
得12）
代入有關資料得
13)設p點速度方向與的夾角為(見圖2)，根據克卜勒第二定律
14）其中為面積速度，並有
15）由（9）、（13）、（14）、（15）式並代入有關資料可得
16二、參考解答：
1．建立如圖所示座標系oxy.兩桿的受力情況如圖：
為地面作用於杆的摩擦力，為地面對杆的支援力，、為杆作用於杆的摩擦力和支援力，、分別為牆對杆和的作用力，為重力.取杆和構成的系統為研究物件，系統平衡時, 由平衡條件有
（1）（2）以及對a點的力矩
即 （3）
式中待求.是過的豎直線與過的水平線的交點，為與的交點．由幾何關係有
4）取杆cd為研究物件，由平衡條件有
5）6）
以及對點的力矩
7）解以上各式可得
8） （9）
10）11）12）13）cd杆平衡的必要條件為
14）由（12）、（13）、（14）式得
15）ab杆平衡的必要條件為
16)由（10）、（11）、（16）式得
17）因此，使系統平衡，應滿足的條件為（15）式和（17）式．
2．將題給的資料代入（15）式可得
18)將題給的資料代入（17）式，經數值計算可得
19)因此，的取值範圍為
20)三、
參考解答：
解法一 1． 設在時刻，小球和圓筒的運動狀態如圖1所示，小球位於點，繩與圓筒的切點為，到的距離即繩的拉直部分的長度為，圓筒的角速度為，小球的速度為.小球的速度可以分解成沿著繩子方向的速度和垂直於繩子方向的速度兩個分量.根據機械能守恆定律和角動量守恆定律有
1)2)
因為繩子不可伸長，與切點的速度相等，即
3)解(1)、(2)、(3)式得
4) 5)
由(4)式可得
6)這便是在衛星角速度減至時繩的拉直部分的長度．
2．由（6）式，當得
7這便是繩的總長度l.
3．如圖2所示，從時刻到，切點跟隨圓筒轉過一角度，由於繩子的拉直部分的長度增加了，切點相對圓筒又轉過一角度，到達處，所以在時間內，切點轉過的角度
8） 切點從變到也使切線方向改變了乙個同樣的角度，而切線方向的改變是小球具有垂直於繩子方向的速度引起的，故有
9） 由(1)、(2)、(3)式可得
10）由(8)、（9）、（10）三式得
11）（11）式表示隨均勻增加，故由0增加到所需的時間為
12）解法二1．撤去插銷後兩個小球的運動情況相同，故可取乙個小球作為物件進行研究，先研究任何時刻小球的速度.
在時刻，相對衛星系統質心參考係小球運動狀態如圖1所示，繩子的拉直部分與圓筒面的切點為，小球到切點t的距離即繩的拉直部分的長度為，小球到轉軸的距離為，圓筒的角速度為.由於圓筒的轉動和小球相對圓筒的運動，繩將展開，切點位置和繩的拉直部分的長度都要改變.
首先考察小球相對於圓筒的運動.在時刻，與固定在圓筒上的半徑的夾角為，如圖2所示.由於小球相對圓筒的運動，經過時間，切點從圓筒上的點移到點，與的夾角變為，繩的拉直部分的長度由變為，小球由運動到，便是小球相對圓筒的位移.
當很小時，故
於是小球相對圓筒的速度大小為
1)方向垂直於．是切點相對圓筒轉動的角速度．
再考察圓筒相對質心參考係的轉動，即與圓筒固連在一起的轉動參考係相對質心參考係的運動.當圓筒的角速度為時，位於轉動參考係中的點(小球所在處)相對質心系的速度
2方向垂直於．可以把分解成沿著方向的分量和垂直方向的分量，如圖3所示，即
34)小球相對質心系的速度是小球相對圓筒的速度和圓筒參考係中的點相對質心系速度的合成，由圖3可得的大小5)因6)
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