第十九屆全國中學生物理競賽
決賽試題
一、（15分）1．一根長為橫截面積為s的勻質圓柱體，在地面上靜止時測得其密度為。當圓柱體沿軸線方向以速度c相對於地面做勻速運動時，相對地面上的觀測者再計算其密度等於多少。（c為光速）
2．有乙個電子，已知它的德布羅意波（物質波）是波長為、向的正方向傳播的平面波。它的動量等於多少？它的座標如何？
二、（25分）在折射率為的介質a中有一半徑為r的球形氣泡，氣體的折射率為。現在在氣泡中再放乙個與氣泡同心的由透明b構成的球，並令一均勻平行光束射向氣泡。
1．如果任意一條在介質a中射向氣泡表面的入射光線在通過各介質介面時的入射角和折射角都滿足的條件，且該光線再進入介質a時能沿原入射光線方向行進，如圖決19-1所示。求介質b的折射率和b球的半徑r′必須滿足的關係式。
2．如果兩球面間的介質不是氣體而是一種透明液體（其折射率仍用表示），並要求任何入射角和折射角的數值都不大於0.1弧度，則符合此條件的入射光束佔射至外球面上的光束的百分比為多少？
三、（20分）歷史上曾有人利用在地球位於其公轉軌道的不同位置處從地球上測得的木星的衛星週期，首次求出了光的傳播速度。現已知離木星最近的乙個衛星——木衛i的週期t0=42.5小時，在地球公轉軌道上各處從地球上測得的木衛i的所有週期值中，最大的比t0多15秒，最小的比t0小15秒。
假定地球、木星的公轉軌道是同一平面內的圓軌道，木衛i繞木星的運動軌道也是該平面內的圓軌道；地球的軌道半徑re=1.5×108km，木星的軌道半徑rj=7.8×108km，木衛i的軌道半徑ri=4.
2×105km。
1．試分析論證：測得木衛i週期最大值和最小值時，相對木星而言，地球位於其公轉軌道的何處附近以及地球、木星和木衛i的運動對測量週期的影響。
2．利用這些資料並作合理近似求出光的傳播速度c。
四、（25分）如圖決19-2所示，在傾角為的固定斜面頂端有一輕質定滑輪，一輕繩跨過滑輪，其兩端分別與物體a、b相連，物體a位於斜面上，連線b的輕繩豎直下垂，二者均處於靜止狀態。已知a、b的質量分別這kg，kg，a與斜面間的動摩擦因數和靜摩擦因數均為，。現在有一質量為kg的子彈沿與斜面成角的方向射入a，射入前的速度m∕s，射入後留在a中，射入過程的時間極短。
當時，試定量說明子彈射入後系統運動的全過程。滑輪轉軸處的摩擦可忽略不計，取 m∕s2。如果不是45°，而是45°到90°之間的任意角，則射入過程結束時a的速度如何？
五、（25分）如圖決19-3（a）所示，有兩個截面為s的相同u形管1、2，其內分別裝有高度為和、密度為的液體。現用同樣截面的導管將兩者在大氣中密接起來，如圖決19-3（b）所示。導管中有一活塞d，它把管中氣體分成長度皆為l0的兩部分，每部分中氣體的壓強皆為大氣壓。
活塞與管壁間的最大靜摩擦力為f。現向u形管1開口端緩慢注入一定量的同種液體，達到平衡時u形管2的左測液面高度變為。試求注入液體的體積。
六、（30分）在空間某區域中，可能存在勻強電場和勻強磁場，也可能只存在兩者之一或都不存在。現在此區域中，建立座標系如圖決19-4所示。
1．已知一質量為電量為的質子1以大小為的速度在該區域中沿軸正方向運動時，測得其加速度。試根據質子1運動提供的資訊，判斷該區域中電場強度e和磁感強度b的大小和方向有哪些可能。把判斷出的結論填在第131頁的橫線上。
填寫時要求：若不存在電場或磁場，用e=0或b=0表示；若存在電場或磁場，電場強度和磁感強度的大小分別用它在座標系中的分量，，和，，來表示；電場強度和磁感強度的方向凡是可用它與座標軸正方向之間的夾角來表示的都用它們來表示，規定夾角是由座標軸正方向沿小於（或等於）180的夾角轉到要考查的向量方向。（在本小題中，不要求寫出理由或推理過程）
2．簡要寫出得出以上結論的理由和推理過程。
3．現又知另一質子2以大小為的速度在該區域中的平面內沿與軸正方向和軸正方向都成的方向運動時，測得此時質子2的加速度大小為，方向沿軸的負方向。試再結合質子2運動提供的資訊，對上面第1小題中你所得的各種結論作進一步的分析，最後判斷出該區域中電場強度e和磁感強度b的大小和方向有哪些可能，把最後判斷出的結論填在下面橫線上，填寫時電場強度和磁感強度的大小和方向的表示方法與第1小題中的要求相同。（本小題不要求寫出理由或推理過程）
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