鐵山蘭教育五星級私人教師教案
第三講:函式的單調性
問題1:分別作出函式的圖象，並且觀察自變數變化時，函式值的變化規律？
問題2:如圖是函式的圖象,能說出這個函式分別在哪個區間為增函式和減函式嗎？
問題3:你能用準確的數學符號語言表述出增（減）函式的定義嗎?
設函式的定義域為
①如果對於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值，當時，
都有,那麼我們就說函式在區間上是
②如果對於定義域內某個區間上的任意兩個自變數的值，當時，
都有,那麼我們就說函式在區間上是
③如果函式在區間上是增函式或減函式，那麼我們就說函式在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間叫作的單調區間．
溫馨提醒
三大特徵：①屬於同一區間；②任意性；③有大小：通常規定；
相對於定義域，函式的單調性可以是函式的區域性性質。
舉例：在上是單調增函式，但在整個定義域上不是增（減）函式。
判斷題：
①．（ ）
②若函式．（ ）
③若函式在區間和(2,3)上均為增函式，則函式在區間(1,3)上為增函式．（ ）
④因為函式在區間上都是減函式，所以在上是減函式.（ ）
強調三點
1.單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性．
2.有的函式在整個定義域內單調(如一次函式)，有的函式只在定義域內的某些區間單調(如二次函式)，有的函式根本沒有單調區間(如常函式)．
3.函式在定義域內的兩個區間a,b上都是增（或減）函式，一般不能認為函式在上是增（或減）函式．
例1 試判斷函式在區間上是增函式還是減函式？並給予證明。
解：函式在（0，＋∞）上是增函式
證明：設是(0,＋∞)上的任意兩個值,且，
則又，故，
則，即：
因此，函式在（0，＋∞）上是增函式。
例2 證明函式在r上是減函式
證明：任取，且，則
∵∴∴函式在r上是減函式。
證明函式在上是增函式．
證明函式在上是增函式．
【針對性練習a】
1.若函式在區間上是增函式，那麼該函式在區間上是（ ）
a.減函式 b.增函式 c.部分遞增部分遞減 d.不存在單調性
2.函式在區間上是（ ）
a.增函式b.既不是增函式又不是減函式
c.減函式d.既是增函式又是減函式
3.若函式在上是減函式,則（ ）
a. b. c. d.
4.下列函式中,在內是減函式的是（ ）
a. b. c. d.
5.函式在區間上是增函式,在區間上是減函式，則的值為（ ）
a.8b. cd.16
6.考察函式:① ② ③ ④ 在上為增函式的是（ ）
a.① 和② b.② 和③ c.③ 和④ d.④ 和①
7.函式對任意均有,那麼的大小關係是( )
ab.cd.
8.已知在區間上單調且,則方程在區間內（ ）
a.至少有一實根 b.至多有一實根 c.沒有實根 d.必有唯一的實根
9.函式為減函式的區間是
10.已知函式在區間上是增函式,則實數a的取值範圍是
11.若,在上都是減函式,則在上是函式.
12.函式的圖象關於軸對稱,且在上遞減,,下列命題中:①；②；③；④方程在上恰有兩個不同實根,其中一定正確的命題序號是
13.函式在上是否具有單調性？如果具有單調性,它在上是增函式還是減函式？試證明你的結論．
14.試討論函式在區間上的單調性．
15.已知是定義在上的減函式,並且,
求實數的取值範圍．
16.函式對有意義,且滿足為增函式.
（1）求證:；（2）求；（3）如果.求的範圍.
【針對性練習b】
1.函式
a.在內單調遞增 b.在內單調遞減
c.在內單調遞增 d.在內單調遞減
2.函式是單調函式的充分條件是（ ）
a. b. c. d.
3.函式的遞增區間依次是 （ ）
a. b. c. d.
4.已知函式是上的增函式,是其圖象上的兩點,那麼不等式的解集的補集是
a. b. c. d.
5.函式=在區間上單調遞增,則實數的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
6.已知在區間內是減函式,又，則有（ ）
a. b.
c. d.
7.函式為減函式的區間是（ ）
a. b. c. d.
8.若與在區間上都是減函式，
則的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
9.是定義在上的遞減函式,且,
則的取值範圍是
10.函式在區間上是增函式，
則的遞增區間是
11.函式的單調區間是
12.給出下列命題:①為非零常數)在上是增函式；②在非零實數集上是遞減函式;③定義在上的函式,若存在且有,那麼在上是增函式;④若函式在內是增函式,那麼在內一定也是增函式,其中正確的是
13.設函式是定義在是增函式,如果不等式對於任意都成立,求實數的取值範圍.
14.已知,如果,確定的單調區間及單調性.
15.討論函式的單調性.
16.設函式,試確定:當取什麼值時,
函式在上為單調函式． 1.2
3.下列函式在上是增函式的是（ ）
ab.c. d.
4.設是上的增函式，為實數，則有（ ）
a. b. c. d.
5.已知函式若,則實數的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
問題：除了用定義外，如果證得對任意的，且有，能斷定函式在區間上是增函式嗎?
對增減函式的另一種認識
1.增量（可正可負不為零） ，
2.定義
①任取,,的增量
同理的増量
③函式在該區間為增函式.
反之，若,函式在該區間為減函式.
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山西忻州五寨一中攝愛忠 復合函式定義 1.設定義域為 的值域為 若，則關於的函式叫做函式與的復合函式，叫中間變數 復合函式的單調性 同增異減.2.3.求解復合函式的單調性的步驟如下 1 求復合函式定義域 2 將復合函式分解為若干個常見函式 一次 二次 冪 指 對函式 3 判斷每個常見函式的單調性 4...
第7講函式的單調性
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周海軍 函式的單調性 教案
課題 函式的單調性 2 教材 人教版全日制普通高階中學教科書 必修一 授課教師 睢縣回高周海軍 學習目標 1 函式單調性概念的應用 2 學會運用影象理解和研究函式的單調性 教學重點 函式單調性概念的應用 教學難點 函式單調性概念的應用 教學方法 教師啟發講授，學生 學習 教學手段 計算機多 教學過程...