教學目的：
1、理解函式的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合具體函式，了解函式奇偶性的含義。
2、會運用函式圖象理解和研究函式的性質。
教學過程
一、知識點總結
1.函式的單調性(區域性性質)
（1）增函式
設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1（2）減函式
如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：函式的單調性是函式的區域性性質；
（3）圖象的特點
如果函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
(4) 函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法：
① 任取x1，x2∈d，且x1②作差f(x1)－f(x2)；
③變形（通常是因式分解和配方）；
④ 定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
⑤ 下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．
(b)圖象法(從圖象上看公升降)
(c)復合函式的單調性
復合函式f[g(x)]的單調性與構成它的函式u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：「同增異減」
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
2、函式的奇偶性（整體性質）
（1）偶函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)，那麼f(x)就叫做偶函式．
（2）奇函式
一般地，對於函式f(x)的定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=—f(x)，那麼f(x)就叫做奇函式．
（3）具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
利用定義判斷函式奇偶性的步驟：
1 首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；
2 確定f(－x)與f(x)的關係；
③ 作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式．
注意：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函式的圖象判定 .
3、函式的解析表示式
（1）函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）求函式的解析式的主要方法有：湊配法待定係數法換元法消參法
4、函式最大（小）值
①利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值；
②利用圖象求函式的最大（小）值；
③利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；
如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；
二. 典型例題講解
1、函式單調性的判斷
例1. 試討論函式中的單調性（其中）。
解析：設
則因此，當時，
即此時函式為減函式；
當時，即此時函式為增函式。
【總結】
1、證明函式單調性時，一定要嚴格按照定義來證明，主要步驟是：①設元；②作差（商）；③變形；④判斷符號；⑤定論。變形要徹底，一般通過因式分解、配方等手段，直到符號的判定非常明顯。
2、判斷函式單調性的常用方法：
①定義法。
②兩個增（減）函式的和為增（減）函式；乙個增（減）函式與乙個減（增）函式的差是增（減）函式；當f(x)恒為正或恒為負時，與的單調性相反。
③奇函式在對稱的兩個區間上有相同的單調性，偶函式在對稱的兩個區間上有相反的單調性。
④如果f(x)在區間d上是增（減）函式，那麼f(x)在d的任一子區間上也是增（減）函式。
⑤如果和單調性相同，那麼是增函式；如果和單調性相反，那麼是減函式。
⑥如果f(x)在區間d上可導且在區間d上恆大於（小於）零，則在區間d上單調遞增（減）。
2、求函式的單調區間
例2. 求下列函式的單調區間：
（1）（2）
（3）（4）
分析：求給定函式的單調區間通常採用以下方法：①利用已知函式的單調性；②圖象法；③定義法（利用單調性的定義**）；④導數法．
解析：（1）對稱軸為∴f(x)在上是增函式，在上是減函式。
（2）由一次函式的單調性可得：f(x)在上是減函式，在上是增函式。
（3）其圖象如圖所示。
由此可知：在上是增函式。
在上是減函式。
（4）方法一：設，則
由於的符號不能確定，因此需要對的取值進行討論。
當時，有
即∴f(x)在上是減函式。
當時，有
即∴f(x)在上是增函式。
方法二：
或（捨去）。
又當時，
∴f(x)在上是增函式，
時，∴f(x)在上是減函式。
點評：①函式的單調區間是函式定義域的子集或真子集，求函式的單調區間必須首先確定函式的定義域，求函式的單調區間的運算應該在函式的定義域內進行．
②可以熟記一些基本函式的單調性，化一些複雜的函式為基本函式組合形式後利用已知結論判斷．
③函式的單調區間可以是開的，也可以是閉的，也可以是半開半閉的，對於閉區間上的連續函式來說，只要在開區間上單調，它在閉區間上也單調．因此，只要單調區間端點使f(x)有意義，都可以使單調區間包括端點．
3、函式的值域（最值）的求法
例3. 求下列函式的值域。
分析：本題主要考查函式值域問題，考查運算能力、數學轉化的思想，對於（1），利用判別式法或分離常數進行轉化；對於（2），利用換元法轉化為二次函式的值域問題；對於（3），利用基本不等式或利用函式的單調性求解；對於（4），由函式的有界性或由幾何法求解；對於（5），用求導數法求解．
解析：（1）方法一：
（2）方法一：設得
方法二：∴定義域為
∵函式在上均單調遞增，
（3）方法一：當時，
當且僅當時，取等號；
當時，當且僅當時，取等號。
綜上，所求函式的值域為
方法二：先證此函式的單調性
任取且∴當或時，f(x)遞增，
當或時，f(x)遞減。
故時，時，
∴所以函式的值域為
4、函式的奇偶性及其應用
例4. 判斷下列函式的奇偶性，並說明理由。
（1）（2）
（3）（4）
分析：判斷函式的奇偶性，首先要檢驗其定義域是否關於原點對稱，若關於原點對稱，再嚴格按照奇偶性的定義進行推理判斷．
解析：（1）由於的定義域不是關於原點對稱的區間，因此，f(x)是非奇非偶函式。
（2）已知f(x)的定義域為其定義域關於原點對稱。
又即∴f(x)是偶函式。
（3）∵f(x)的定義域為且其定義域關於原點對稱，並且有
即為奇函式。
（4）的定義域關於原點對稱，∵當時，
當時，∴f(x)為奇函式。
例5. 函式是奇函式，且當時是增函式，若求不等式的解集。
解析：∵是奇函式，
又∵在上是增函式，
∴在上是增函式，若即
解得或若
解得∴原不等式的解集是
【總結】
1、解含有抽象符號「f」的不等式時，關鍵是符號「f」的「穿」和「脫」。在這裡，首先要穿上符號「f」，然後再利用函式的單調性脫去「f」，使之成為能夠求解的普通不等式。
2、單調性的定義實質上給出了自變數與函式值大小關係的轉化。如果f(x)在d上為增函式，則，如果f(x)在d上為減函式，則，以上也是脫去符號「f」的重要手段。
3、在關於原點對稱的兩個區間上，奇函式的單調性相同，偶函式的單調性相反。
家庭作業
1．已知函式為偶函式，
則的值是（ ）
a. b.
c. d.
2．若偶函式在上是增函式，則下列關係式中成立的是（ ）
a．b． c．
d． 3．如果奇函式在區間上是增函式且最大值為，
那麼在區間上是（ ）
a．增函式且最小值是 b．增函式且最大值是
c．減函式且最大值是 d．減函式且最小值是
4.設函式是奇函式。若則
部析：本題考查奇函式的概念。
答案：－3
解析：∵是奇函式，
故填－3。
5．已知函式的定義域為，且同時滿足下列條件：（1）是奇函式；
（2）在定義域上單調遞減；（3）求的取值範圍。
函式的基本性質
考情展望 1.考查給定函式 或抽象函式 的定義域.2.以分段函式為載體，考查函式的求值 值域及引數的範圍等問題.3.以新定義 新情景為載體，考查函式的表示方法 最值等問題 一 函式及對映的概念 二 函式的定義域 值域 相等函式 1 定義域 在函式y f x x a中，自變數x的取值範圍 數集a 叫做...
函式的基本性質
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函式的基本性質小結
第2章函式的基本性質 2.20 本章考點小結 教學目標 教學重點 函式的基本性質及應用 教學難點 函式關係的建立 用函式的性質解決簡單的實際問題與領悟數學思想方法。教學過程 一 知識整理 1 基本思想 1 函式主要研究兩個變數的相互聯絡，故涉及到兩個變數的相互作用 相互影響的問題，大多可用函式的觀點...