函式的單調性和奇偶性
一、目標認知
學習目標：
1.理解函式的單調性、奇偶性定義；
2.會判斷函式的單調區間、證明函式在給定區間上的單調性；
3.會利用圖象和定義判斷函式的奇偶性；
4.掌握利用函式性質在解決有關綜合問題方面的應用.
重點、難點：
1.對於函式單調性的理解；
2.函式性質的應用.
二、知識要點梳理
1.函式的單調性
(1)增函式、減函式的概念
一般地，設函式f(x)的定義域為a，區間
如果對於m內的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那麼就說f(x)在區間m上是增函式；
如果對於m內的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那麼就說f(x)在區間m上是減函式.
如果函式f(x)在區間m上是增函式或減函式，那麼就說函式f(x)在區間m上具有單調性，m稱為函式f(x)的單調區間.
要點詮釋：
[1]「任意」和「都」；
[2]單調區間與定義域的關係----區域性性質；
[3]單調性是通過函式值變化與自變數的變化方向是否一致來描述函式性質的；
[4]不能隨意合併兩個單調區間.
(2)已知解析式，如何判斷乙個函式在所給區間上的單調性？
基本方法：觀察圖形或依據定義.
2.函式的奇偶性
偶函式：若對於定義域內的任意乙個x，都有f(-x)=f(x)，那麼f(x)稱為偶函式.
奇函式：若對於定義域內的任意乙個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼f(x)稱為奇函式.
要點詮釋：
[1]奇偶性是整體性質；
[2]x在定義域中，那麼-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函式，其定義域必定是關於原點對稱的；
[3]f(-x)=f(x)的等價形式為：，
f(-x)=-f(x)的等價形式為：；
[4]由定義不難得出若乙個函式是奇函式且在原點有定義，則必有f(0)=0；
[5]若f(x)既是奇函式又是偶函式，則必有f(x)=0；
[6]，
.三、規律方法指導
1.證明函式單調性的步驟：
(1)取值.設是定義域內乙個區間上的任意兩個量，且；
(2)變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；
(3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關係；
(4)得出結論.
2.函式單調性的判斷方法：
(1)定義法；
(2)圖象法；
(3)對於復合函式，若在區間上是單調函式，則在區間或者上是單調函式；若與單調性相同（同時為增或同時為減），則為增函式；若與單調性相反，則為減函式.
3.常見結論:
(1)若是增函式，則為減函式；若是減函式，則為增函式；
(2)若和均為增（或減）函式，則在和的公共定義域上為增（或減) 函式；
(3)若且為增函式，則函式為增函式，為減函式；
若且為減函式，則函式為減函式，為增函式.
(4)若奇函式在上是增函式，且有最大值，則在是增函式，且有最小值 ；若偶函式在是減函式，則在是增函式.
經典例題透析
型別一、函式的單調性的證明
1.證明函式上的單調性.
證明：總結昇華：
[1]證明函式單調性要求使用定義；
[2]如何比較兩個量的大小？(作差)
[3]如何判斷乙個式子的符號？(對差適當變形)
舉一反三：
【變式1】用定義證明函式上是減函式.
總結昇華：可以用同樣的方法證明此函式在上是增函式；在今後的學習中經常會碰到這個函式，在此可以嘗試利用函式的單調性大致給出函式的圖象.
型別二、求函式的單調區間
2. 判斷下列函式的單調區間；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
舉一反三：
【變式1】求下列函式的單調區間：
(1)y=|x+1|； (2)
總結昇華：
[1]數形結合利用圖象判斷函式單調區間；
[2]關於二次函式單調區間問題，單調性變化的點與對稱軸相關.
[3]復合函式的單調性分析：先求函式的定義域；再將復合函式分解為內、外層函式；利用已知函式的單調性解決.關注：
內外層函式同向變化復合函式為增函式；內外層函式反向變化復合函式為減函式.
型別三、單調性的應用(比較函式值的大小，求函式值域，求函式的最大值或最小值)
3. 已知函式f(x)在(0，+∞)上是減函式，比較f(a2-a+1)與的大小.
4. 求下列函式值域：
(1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2)y=x2-2x+3； 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].
舉一反三：
【變式1】已知函式.
(1)判斷函式f(x)的單調區間；
(2)當x∈[1，3]時，求函式f(x)的值域.
思路點撥：這個函式直接觀察恐怕不容易看出它的單調區間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.，第二問即是利用單調性求函式值域.
5. 已知二次函式f(x)=x2-(a-1)x+5在區間上是增函式，求：(1)實數a的取值範圍；(2)f(2)的取值範圍.
型別四、判斷函式的奇偶性
6. 判斷下列函式的奇偶性：
(1) (2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6) (7)
思路點撥：根據函式的奇偶性的定義進行判斷.
舉一反三：
【變式1】判斷下列函式的奇偶性：
(1)； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1；
(4).
思路點撥：利用函式奇偶性的定義進行判斷.
舉一反三：
【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函式，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函式，f(x)·g(x)為偶函式.
型別五、函式奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)
7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
8. f(x)是定義在r上的奇函式，且當x＜0時，f(x)=x2-x，求當x≥0時，f(x)的解析式，並畫出函式圖象.
9. 設定義在[-3，3]上的偶函式f(x)在[0，3]上是單調遞增，當f(a-1)＜f(a)時，求a的取值範圍. 型別
六、綜合問題
10.定義在r上的奇函式f(x)為增函式，偶函式g(x)在區間的圖象與f(x)的圖象重合， 設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)； ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)； ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).
11. 求下列函式的值域：
(1) (2) (3)
思路點撥：(1)中函式為二次函式開方，可先求出二次函式值域；(2)由單調性求值域，此題也可換元解決；(3)單調性無法確定，經換元後將之轉化為熟悉二次函式情形，問題得到解決，需注意此時t範圍.
解：12. 已知函式f(x)=x2-2ax+a2-1.
(1)若函式f(x)在區間[0，2]上是單調的，求實數a的取值範圍；
(2)當x∈[-1，1]時，求函式f(x)的最小值g(a)，並畫出最小值函式y=g(a)的圖象.
13. 已知函式f(x)在定義域(0，+∞)上為增函式，f(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
14. 判斷函式上的單調性，並證明.
證明：15. 設a為實數，函式f(x)=x2+|x-a|+1，x∈r，試討論f(x)的奇偶性，並求f(x)的最小值.
解：學習成果測評
基礎達標
一、選擇題
1．下面說法正確的選項( )
a．函式的單調區間就是函式的定義域
b．函式的多個單調增區間的並集也是其單調增區間
c．具有奇偶性的函式的定義域定關於原點對稱
d．關於原點對稱的圖象一定是奇函式的圖象
2．在區間上為增函式的是( )
ab．c． d．
3．已知函式為偶函式，則的值是( )
a. b. c. d.
4．若偶函式在上是增函式，則下列關係式中成立的是( )
a． b．
c． d．
5．如果奇函式在區間上是增函式且最大值為，那麼在區間上是( )
a．增函式且最小值是 b．增函式且最大值是
c．減函式且最大值是 d．減函式且最小值是
6．設是定義在上的乙個函式，則函式，在上一定是( )
a．奇函式b．偶函式
c．既是奇函式又是偶函式 d．非奇非偶函式.
7．下列函式中，在區間上是增函式的是( )
a． b． c． d．
8．函式f(x)是定義在[-6，6]上的偶函式，且在[-6，0]上是減函式，則( )
a. f(3)+f(4)＞0 b. f(-3)-f(2)＜0 c. f(-2)+f(-5)＜0 d. f(4)-f(-1)＞0
二、填空題
1．設奇函式的定義域為，若當時， 的圖象
如右圖，則不等式的解是
2．函式的值域是
3．已知，則函式的值域是
4．若函式是偶函式，則的遞減區間是
5．函式在r上為奇函式，且，則當
三、解答題
1．判斷一次函式反比例函式，二次函式的單調性.
2．已知函式的定義域為，且同時滿足下列條件：(1)是奇函式；(2)在定義域上
單調遞減；(3)求的取值範圍.
3．利用函式的單調性求函式的值域；
4．已知函式.
① 當時，求函式的最大值和最小值；
② 求實數的取值範圍，使在區間上是單調函式.
能力提公升
一、選擇題
1．下列判斷正確的是( )
a．函式是奇函式 b．函式是偶函式
c．函式是非奇非偶函式 d．函式既是奇函式又是偶函式
2．若函式在上是單調函式，則的取值範圍是( )
ab．c． d．
3．函式的值域為( )
a． b．
c． d．
4．已知函式在區間上是減函式，則實數的取值範圍是( )
a． b． c． d．
5．下列四個命題：(1)函式在時是增函式，也是增函式，所以是增函式；(2)若函式與軸沒有交點，則且；(3) 的遞增區間為；(4) 和表示相等函式.其中正確命題的個數是( )
a． b． c． d．
6．定義在r上的偶函式，滿足，且在區間上為遞增，則( )
a． b．
c． d．
二、填空題
1．函式的單調遞減區間是
2．已知定義在上的奇函式，當時，，那麼時，______.
3．若函式在上是奇函式，則的解析式為________.
4．奇函式在區間上是增函式，在區間上的最大值為8，最小值為-1，
則5．若函式在上是減函式，則的取值範圍為
三、解答題
1．判斷下列函式的奇偶性
(1) (2)
高中函式的單調性和奇偶性
函式的單調性 一 知識梳理 1 函式的單調性定義 設函式的定義域為，區間，如果對於區間內的任意兩個值，當時，都有，那麼就說在區間上是單調增函式，稱為的單調增區間 如果對於區間內的任意兩個值，當時，都有，那麼就說在區間上是單調減函式，稱為的單調減區間。如果用導數的語言來，那就是 設函式，如果在某區間上...
《函式的單調性和奇偶性》經典例題
經典例題透析 型別一 函式的單調性的證明 1 證明函式上的單調性.證明 在 0，上任取x1 x2 x1 x2 令 x x2 x1 0 則 x1 0，x2 0，上式 0，y f x2 f x1 0 上遞減.總結昇華 1 證明函式單調性要求使用定義 2 如何比較兩個量的大小？作差 3 如何判斷乙個式子的...
函式單調性奇偶性經典例題
函式的性質的運用 1 若函式是奇函式，則下列座標表示的點一定在函式 圖象上的是 a.b.c.d.2.已知函式是奇函式，則的值為 a b cd 3 已知f x 是偶函式，g x 是奇函式，若，則f x 的解析式為 4 已知函式f x 為偶函式，且其圖象與x軸有四個交點，則方程f x 0的所有 實根之和...