（一）函式單調性
1.增函式、減函式
時，都有，那麼就說函式在區間d上是增函式；
如果對於定義域i內某個區間d上的任意兩個自變數的值，當時，都有，那麼就說函式在區間d上是減函式.
注意：1）求函式的單調區間，必須先求函式的定義域.
定義的變式
設那麼上是增函式；
上是減函式.
例：證明函式在上是增函式.
變式與擴充套件：討論函式f(x)＝ (a≠0)在區間(-1，1)內的單調性
若函式在上是單調遞增函式，求的取值範圍.
討論函式在內的單調性.
二.一些重要函式的單調性
①對勾函式的圖象
的單調區間：增區間；減區間.
的單調區間：增區間；減區間
②的圖象
③分式函式的圖象
若是的單調增區間，，且，則有（ ）
函式的單調遞減區間為（ ）
例：已知偶函式在區間單調增加，則滿足＜的x 取值範圍是
（a）（，） (bc)（，） (d) ［，）w.
變式：二次函式的基本性質例1、函式在[1，2]上是單調遞增函式，則實數的取值範圍是_________
三、函式的奇偶性的幾個性質
①、對稱性：奇（偶）函式的定義域關於原點對稱；
②、整體性：奇偶性是函式的整體性質，對定義域內任意乙個都必須成立；
③、可逆性： 是偶函式；
奇函式；
④、等價性：
⑤、奇函式的影象關於原點對稱，偶函式的影象關於軸對稱；
⑥、可分性：根據函式奇偶性可將函式分類為四類：奇函式、偶函式、既是奇函式又是偶函式、非奇非偶函式。
四、函式的奇偶性的判斷
判斷函式的奇偶性大致有下列兩種方法：
第一種方法：利用奇、偶函式的定義，主要考查是否與、 相等，判斷步驟如下：
1、 定義域是否關於原點對稱；
2、 數量關係哪個成立；
例變式：
12、3、 4、
5 6 （9）
78 、 （12）
1 若函式與的定義域均為r，則
a. 與與均為偶函式 b.為奇函式，為偶函式
c. 與與均為奇函式 d.為偶函式，為奇函式
2 設是定義在上的奇函式，當時，，則
（ab四、關於函式的奇偶性的幾個命題的判定。
命題1 函式的定義域關於原點對稱，是函式為奇函式或偶函式的必要不充分條件。
命題2 函式f(x)+f(-x)是偶函式，函式f(x)-f(-x)是奇函式。
命題3 已知函式f(x)是奇函式，且f(0)有定義，則f(0)=0。
命題4 已知f(x)是奇函式或偶函式，方程f(x)=0有實根，那麼方程f(x)=0的所有實根之和為零；若f(x)是定義在實數集上的奇函式，則方程f(x)=0有奇數個實根。
7、關於函式奇偶性的簡單應用
1、利用奇偶性求函式值
例1：已知且，那麼
變式與擴充套件：
1、如果奇函式在上是增函式，且最小值是5，那麼在上是（ ）
2.設奇函式f(x)的定義域為[-5,5].若當x∈[0,5]時, f(x)的圖象如右圖,則不等式的解是
3、奇函式在區間上是減函式且有最小值，那麼在上是（ ）
a、減函式且有最大值b、減函式且有最小值
c、增函式且有最大值d、增函式且有最小值
2、利用奇偶性比較大小
例2：已知偶函式在上為減函式，比較，，的大小。
變式：1．已知函式(),若，則
ab.cd. 與的大小不能確定
3.利用奇偶性求解析式
例3：已知為偶函式，求的解析式？
變式1.已知函式f（x）是奇函式，且當x＞0時，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在r上的表示式．
2、已知函式為奇函式，且當時，則當時，的解析式為
ab.cd.
4、利用奇偶性討論函式的單調性
例4：若是偶函式，討論函式的單調區間？
5、利用奇偶性與單調性求引數的值
例4.已知函式，若為奇函式，則________
例5. 定義在r上的偶函式在是單調遞減，若，則的取值範圍是如何？
變式：1 若為奇函式，求的值；
2 若是奇函式，求的值；
3 設為定義在r上的奇函式，當時，，求；
4 已知定義在r上的函式是奇函式，求的值；
5 已知是定義在上的偶函式，求_____;
六函式的單調性（定義域優先考慮）
例：．函式的單調遞減區間是 （ ）
a ． b． c ． d．
變式：1．若函式與在都是減函式，則的取值範圍是
a． b． c ． d ．
單調性與奇偶性綜合提高：
1、設為定義在上的奇函式，當時，（為常數），則（ ）
（a）-3b）-1c）1d)3
2.函式的影象關於（ ）
a．軸對稱b． 直線對稱
c． 座標原點對稱 d． 直線對稱
3下列函式中，既是偶函式，又是在區間上單調遞減的函式是（ ）
（a）. （b）. （c）. （d）.
4下列函式中，既是偶函式，又在單調遞增的函式是
（a） (b) （c） (d)
5、下列函式中,在區間（0,1）上是增函式的是
a. b. c.
6、若函式是偶函式，則是 （ ）
a．奇函式 b、偶函式 c、非奇非偶函式 d。既是奇函式又是偶函式
選做題：
1.若函式為奇函式,則a=
(a) (b) (c) (d) 1
2.設函式和分別是ｒ上的偶函式和奇函式，則下列結論恆成立的是
ａ．是偶函式是奇函式
ｃ．是偶函式是奇函式
3.設為定義在上的奇函式，當時，（為常數），則
（a）-3 （b）-1c）1d)3
4．設，函式有最大值，則不等式的解集為
5．已知定義域為的函式是奇函式。
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若對任意的，不等式恆成立，求的取值範圍；
函式單調性奇偶性經典例題
函式的性質的運用 1 若函式是奇函式，則下列座標表示的點一定在函式 圖象上的是 a.b.c.d.2.已知函式是奇函式，則的值為 a b cd 3 已知f x 是偶函式，g x 是奇函式，若，則f x 的解析式為 4 已知函式f x 為偶函式，且其圖象與x軸有四個交點，則方程f x 0的所有 實根之和...
函式單調性奇偶性經典例題
下面四個結論 偶函式的圖象一定與y軸相交 奇函式的圖象一定通過原點 偶函式的圖象關於y軸對稱 既是奇函式又是偶函式的函式一定是f x 0 x r 其中正確命題的個數是 a 1 b 2 c 3 d 4 分析 偶函式的圖象關於y軸對稱，但不一定相交，因此 正確，錯誤 奇函式的圖象關於原點對稱，但不一定經...
1 2函式的單調性與奇偶性
函式的單調性 一 選擇題 填空題 1.下列函式中，在區間 1，上是增函式的是 a y x 1 b y c y x 1 2 d y 31 x 2.函式y f x 的圖象如右圖所示，其增區間是 a 4，4b 4，3 1，4 c 3，1d 3，4 3.下列函式在 1，4 上最大值為3的是 a y 2 b ...