第二章函式的單調性
一，增函式的概念
（1）一般地，設函式y=f(x)的定義域為a，如果對於定義域a內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1注意：
函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函式的區域性性質；
必須是對於區間d內的任意兩個自變數x1，x2；當x1（2）函式的單調性定義
如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式，那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間d叫做y=f(x)的單調區間。
（3）判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式f(x)在給定的區間d上的單調性的一般步驟：
任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；
③變形（通常是因式分解和配方）；
④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；
⑤下結論（即指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．
例1，(1)函式y=x2-6x的減區間是
(2)函式的y=-2x2+3x+1，[0,2]減區間是 ，增區間是
例2，證明函式在（1，+∞）上為增函式．
2.已知函式f(x)在區間上是減函式,則與的大小關係是 ．
3. 已知函式,其中，(1)試判斷它的單調性；
(2)試求它的最小值．
4.設f(x)為定義在r+上的增函式，且f(xy)=f(x)+f(y)，
(1)求證：f(0)=0，f(1)=0
(2)若有f(3)=1,且f(a) ＞f(a-1)+1，求a的取值範圍
5．已知函式，常數。
（1）設，證明：函式在上單調遞增；
（2）設且的定義域和值域都是，求的最大值．
二，函式的奇偶性定義：
（1）偶函式
一般地，對於函式的定義域內的任意乙個，都有，那麼就叫做偶函式．
（2）奇函式
一般地，對於函式的定義域的任意乙個，都有，那麼就叫做奇函式．
說明：①函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性，函式的奇偶性是函式的整體性質；
②由函式的奇偶性定義可知，函式具有奇偶性的乙個必要條件是，對於定義域內的任意乙個，則也一定是定義域內的乙個自變數（即定義域關於原點對稱）．
（3）具有奇偶性的函式的圖象的特徵
偶函式的圖象關於軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
注意：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函式的圖象判定 .
例2．判斷下列函式是否是偶函式．
（1）（2）
練習1，,判斷下列函式的奇偶性
（1）+x3 （2） （3），（x≥3）
小結：利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟：
①首先確定函式的定義域，並判斷其定義域是否關於原點對稱；
②確定；
③作出相應結論：
若；若．
例3，判斷下列函式的奇偶性：
練習1，判定奇偶性
2．函式是（ ）
a． 非奇非偶函式 b．既不是奇函式,又不是偶函式奇函式 c． 偶函式 d． 奇函式
3．已知函式(1), (2),(3)
(4),其中是偶函式的有（ ）個
a．1 b．2 c．3 d．4
4．已知函式是r上的偶函式，且在（-∞，上是減函式，若，則實數a的取值範圍是（ ）
a．a≤2 b．a≤-2或a≥2c．a≥-2 d．-2≤a≤2
5.已知奇函式的定義域為，且對任意正實數，恒有，則一定有
a． b． c． d．
6．已知f(x)是定義域為r的偶函式,當x<0時, f(x)是增函式,若x1<0,x2>0,且,則和的大小關係是
7.定義在區間（－∞，＋∞）上的奇函式f（x）為增函式，偶函式g（x）在［0，＋∞ )上圖象與f（x）的圖象重合.設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是
（1）f（b）－f（-a）＞g（a）—g（-b）（2）f（b）－f（-a）＜g（a）－g（-b）
（3）f（a）－f（-b）＞g（b）－g（-a） （4）f（a）－f（-b）＜g（b）－g（-a）
a．（1）（2） b．（2）（3c．（1）（3d．（2）（4）
8．已知函式y=f(x)在r上為奇函式,且當x0時，f(x)=x2-2x,則f(x)在時的解析式是（ ）
a、f(x)=x2-2x b、f(x)=x2+2x c、f(x)= -x2+2x d、f(x)= -x2-2x
9.(1)設f(x)的定義域為r的函式,求證:是偶函式；
是奇函式.
(2)利用上述結論，你能把函式表示成乙個偶函式與乙個奇函式之和的形式．
10．定義在(－1，1)上的函式f(x)滿足：對任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f()．
(1)求證：函式f(x)是奇函式；
(2)如果當x∈(－1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(－1，1)上是單調遞減函式；
11、設函式且對任意非零實數恒有，且對任意，。
（1） 求及的值；
（2） 判斷函式的奇偶性；
（3） 求不等式的解集。
函式單調性與奇偶性經典總結
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1 2函式的單調性與奇偶性
函式的單調性 一 選擇題 填空題 1.下列函式中，在區間 1，上是增函式的是 a y x 1 b y c y x 1 2 d y 31 x 2.函式y f x 的圖象如右圖所示，其增區間是 a 4，4b 4，3 1，4 c 3，1d 3，4 3.下列函式在 1，4 上最大值為3的是 a y 2 b ...
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