2023年全國高中數學聯合競賽遼寧省初賽試卷有答案

後有答案

(7月5日上午8:30-11:00)

一.選擇題(本題滿分30分,每小題5分)

本題共有6道小題,每小題給出(a),(b),(c),(d)四個結論,其中只有乙個是正確的.請把正確結論的代表字母寫在題後[答]後面的圓括號內.每小題選對得5分,不選,選錯或選出的代表字母超過乙個(不論是否寫在圓括號內),一律得0分.

1.設a=,其中[x]表示不超過x的最大整數,集合a=,則a中元素的個數是

a.4 b.6 c.8 d.12

2.若△abc的三邊a,b,c成等比數列,邊a,b,c的所對的角依次為a,b,c,且sinasinb+sinbsinc+cos2b=1,則角b為

a. b. c. d.

3.已知函式f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|,則f(1)+f(2)+…+f(50)=

a.660 b.664 c.668 d.672

4.已知數列是由正整數組成的遞增數列,且an+2=an+1+2an(n∈n*),若a5=52,則a7=

a.102 b.152 c.212 d.272

5.長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=aa1=1,ad=2,則異面直線a1d與b1d1間的距離為

a.1 b. c. d.

6.如圖,m,n分別為正六邊形abcdef的對角線ac,ce的內分點,且==,若b,m,n三點共線,則=

a. b. c. d.

二.填空題(本題滿分30分,每小題5分)

7.已知複數z=a+i(a∈r)在復平面內對應的點在第二象限,且|z(1+i)|>2,則實數a的取值範圍是_______.

8.若實數a,b滿足a+lga=10,b+10b=10,則lg(a+b

9.設數列的前n項和為sn,a1=,且對任意正整數m,n,都有am+n=aman,若sn10.立方體abcd-a1b1c1d1中,點m,n分別**段ab,bb1上(不包括線段的端點),並且am=b1n,則a1m與c1n所成角的取值範圍是_______.

11.一道數學競賽題,甲,乙,丙單獨解出此題的概率分別為, , ,其中a,b,c都是小於10的正整數.現甲乙丙同時獨立解答此題,若三人中恰有一人解出此題的概率為,則甲乙丙三人都未解出此題的概率為_______.

12.設f1,f2為橢圓c的兩個焦點,若ab為橢圓一條過點f2的弦,且在△f1ab中,|f1a|=3,|ab|=4,|bf1|=5,則tanf2f1b=_______.

三.解答題(本題共4道小題,滿分90分)

13.(本小題滿分20分)設實數a,b,滿足0(1)證明:lna+1<(2)證明:[ a+(1-)b]ln[ a+(1-)b]≤alna+(1- )blnb.

14.(本小題滿分20分)如圖,直角三角形abc外接圓圓心為o,c=90o,過c作ab的垂線,垂足為d,作圓o1分別切弧,邊cd,db於e,f,g,同樣作圓o2與弧,邊cd,da相切,設圓o1半徑為r1,圓o2半徑為r2,△abc內切圓半徑為r,證明:r= (r1+r2).

15. (本小題滿分25分)已知數列中a1=1,關於x的方程x2-an+1cosx+2an+1=0有唯一解.

(1)求數列的通項公式;

(2)設bn=[1+]n,求證:bn<3.

(3)設cn=n2an,求數列的前n項和sn.

16. (本小題滿分25分)雙曲線c: - =1的左右兩個焦點分別為f1,f2,p為雙曲線上一動點,且在第一象限內,已知△pf1f2的重心為g,內心為i.

(1)問是否存在點p,使得ig∥f1f2?若存在,求出點p;若不存在,請說明理由;

(2)設a為雙曲線c的左頂點,直線l過右焦點f2與雙曲線c交於m,n兩點,若am,an的斜率k1,k2,且k1+k2=-,求直線l的方程.